受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第1問の[1]…三角関数の問題の解説
寒くなってきて、だいぶん皮がめくれてきたな。

そしたらセンター試験2011年度数学2Bの第一問の[1]の解説いっときます。


第1問
[1]-π/2≦θ≦0のとき、関数
y=cos2θ+√3sin2θ-2√3cosθ-2sinθ
の最小値を求めよう。

t=sinθ+√3cosθとおくと
t^2=[ア](cosθ)^2+([イ]√[ウ])sinθcosθ+[エ]
であるから
y=t^2-[エ]t-[カ]
となる。また
t=[キ]sin(θ+π/[ク])
である。

θ+π/[ク]のとり得る値の範囲は
-π/[ケ]≦θ+π/[ク]≦π/[ク]
であるから、tのとり得る値の範囲は
[コサ]≦t≦√[シ]
である。したがって,y=[ス],すなわちθ=-π/[セ]のとき,

最小値[ソタ]をとる。

[解答と解説]

なんかtを2乗してるから意味わからんままに2乗しときますか。
t=sinθ+√3cosθ
だから
t^2=sinθ^2+2√3sinθcosθ+3cosθ^2
解答欄を見るとcosθ^2とsinθcosθって書いてるってことはsinθ^2はcosθになおせってことやと、線路に痰吐きに行ってるおじさんが昔よく言ってました。

t^2=1-cosθ^2+2√3sinθcosθ+3cosθ^2
=2cosθ^2+2√3sinθcosθ+1


それで
y=cos2θ+√3sin2θ-2√3cosθ-2sinθ
をtであらわせってことやな。

そらもうこれはt^2がcosθ^2とsinθcosθであらわされてるから2倍角をcosθ^2やsinθcosθに直せって言う典型パターンやな。

cos2θは
cos2θ=cosθ^2-sinθ^2=2cosθ^2-1=1-2sinθ^2
って色々かたちあるけど、t^2をcosθ^2であらわしたから使うのは
cos2θ=2cosθ^2-1

それと
sin2θ=2sinθcosθ

だから
y=2cosθ^2-1+2√3sinθcosθ-2√3cosθ-2sinθ
=2cosθ^2+2√3sinθcosθ-2√3cosθ-2sinθ-1
=t^2-2√3cosθ-2sinθ-1
=t^2-2t-1

と言うことでがんばりましょか。


t=sinθ+√3cosθ
をsinで合成してくれってことやな。

これは

√(1+√3^2)=2
やから、ちょっと詳しく合成すると

t=2(sinθ1/2+cosθ√3/2)
=2(sinθcos(π/3)+cosθsin(π/3))
=2sin(θ+π/3)

言うても合成は加法定理の反対をやってるだけやからな。


-π/2≦θ≦0
やからθ+π/3のとり得る値の範囲はπ/3をたせばよくて

-π/2+π/3≦θ+π/3≦π/3

-π/6≦θ+π/3≦π/3


でtのとり得る値の範囲は、これはパっと単位円書いてまうのがコツやねん。

center20112b11.jpg

これより
-1/2≦sin(θ+π/3)≦(√3)/2
やから

-1≦2sin(θ+π/3)≦√3
つまり
-1≦t≦√3

tの範囲が出たから、yは平方完成して

y=t^2-2t-1
=(t-1)^2-2

t=1は-1≦t≦√3に入ってるので、最小値はt=1の時-2です。

t=1をθに直して

1=2sin(θ+π/3)
より
sin(θ+π/3)=1/2

-π/6≦θ+π/3≦π/3より

θ+π/3=π/6

つまり

θ=-π/6


よく頑張ったな。

頭なぜなぜ

センター試験の過去問の解説




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