受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第1問の[2]…対数と整数の問題の解説
何かパウダー状のものが、カバンについていた時は横のおっさんのフケを疑えってことか。

センター試験2011年度数学2Bの第1問の[2]の解説いっときます。

[問題]
[2]自然数xで,条件
12(log_2(√x))^2-7log_4(x)-10>0…①
x+log_3(x)<14…②
を満たすものを求めよう。
まず,xを正の実数として,条件①を考える。①はX=log_2(x)とおくと
6X^2-[チ]X-[ツテ]>0
となる。この2次不等式を解くと
X<-[ト]/[ナ],[ニ]/[ヌ]<X
となる。したがって,条件①を満たす最小の自然数xは[ヌ]であり,[ネ]以上のすべての自然数xは①を満たす。

次に,条件②について考えると,②を満たす最大の自然数xは[ノハ]であり,[ノハ]以下のすべての自然数xは②を満たす。
したがって,求めるxは[ネ]以上[ノハ]以下の自然数である。

[解答と解説]
12(log_2(√x))^2-7log_4(x)-10>0

でX=log_2(x)と置けってことやな。

まずはlog_2(√x)の方はlog_2(x)の形に直して
log_2(x^1/2)
=(1/2))log_2(x)
=X/2


log_4(x)は底を2にしたらええから、底の変換公式を使います。

log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)
なんでこうなるんか意味とか考えずに、あほみたいな顔して変形するようにしてください。
そらなんでこうなるか理解しとかなあかんと言えばあかんねんけど、対数が出来るようにはパっと反射的に変形できる頭を作ることやねん。

それで経験が積み重なったら

なんでこういう変形になるんかを考え続けても、それは出来るようになる過程ではないねん。

さあて、話が長くなって何をやってたか忘れさせたところで


log_4(x)=log_2(x)/log_2(4)
=X/log_2(2^2)
=X/2

だから

12(X/2)^2-7(X/2)-10>0
⇔6X^2-7X-20>0

これを解くにはどうしたらよかったかな?

だから因数分解や言うてるやろ。


(2X-5)(3X+4)>0
だから
X<-4/3,5/2<X

これを満たす最小の自然数xはXをxに直して
log_2(x)<-4/3,5/2<log_2(x)
全部log_2にしていって

log_2(x)<log_2(2^(-4/3)),log_2(2^(5/2))<log_2(x)

x<2^(-4/3),2^(5/2)<x

さすがに2^(-4/3)<1やから、xは自然数の時はこっちは関係ないとして

5=√25<2^(5/2)=√32<√36=6

だからx=6やな。

それで6以上やったら①を満たすってことやな。


x+log_3(x)<14を満たす最大の自然数xは…

これはxとlogが混ざってるから難しく見えて、実はxもlog_3(x)も二つともxの増加関数やから、増減は単純やねんな。

こういう問題はxに具体的に値を入れていってみるねん。


整数問題が来ると、シラミつぶしで入れていってみる。
これやがな!


ただ最大の自然数xは[ノハ]って書いてるから、xは2桁つまり10以上です。

x=10の時
10+log_3(10)<10+log_3(27)=10+3=13<14

満たしてますね。

log_3(x)は増加が緩やかやから、xが26までlog_3(x)≦log_3(27)=3と言うように3未満ってことがわかってきました。

反対にxの方はx=14で、もうx+log_3(x)は14を越えてしまう。

だからx=11,12ぐらいなんやろな。

x=11は11+log_3(11)<11+log_3(27)=11+3=14
オッケーこれは満たす。

x=12はは12+log_3(12)<12+log_3(27)=12+3=15
これは14を越えてそうやな。

2=log_3(9)<log_3(12)
やから
14=12+2<12+log_3(12)
これはあかんな。

だからx=11ってことになりました。


本番はこんな感じでいいと思うし、こんな感じやるべきやねんけど、もう少し数学的にやるとしたら

x<14が必要であり、9≦x<14において

log_3(9)≦log_3(x)<log_3(27)
より
2≦log_3(x)<3

でlog_3(x)の整数部分は2です。

そしたら、

x+log_3(x)の整数部分はx+2です。

と言うことは

x+log_3(x)<14

はx+log_3(x)の整数部分は13までいけるから
x+2=13つまりx=11です。

センター試験の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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