受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第2問…微分積分の問題の解説
なるほど、それは色紙とアロンアルファを持って戯れる子供たちやな。


センター試験数学2B第二問の解説いきますわ。



[問題]
座標平面上で,放物線y=x^2をCとする。
曲線C上の点Pのx座標をaとする。点PにおけるCの接線lの方程式は
y=[アイ]x-a^[ウ]
である。a≠0のとき直線lがx軸と交わる点をQとすると,Qの座標は
([エ][オ],[カ])
である。
a>0のとき,曲線Cと直線lおよびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
S=a^[キ]/[クケ]
である。
a<2のとき,曲線Cと直線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積をTとすると
T=-a^3/[コ]+[サ]a^2-[シ]a+[ス]/[セ]
である。

a=0のときはS=0,a=2のときはT=0であるとして,0≦a≦2に対してU=S+Tとおく。aがこの範囲を動くとき,Uはa=[ソ]で最大値[タ]/[チ]をとり,a=[ツ]/[テ]で最小値[ト]/[ナニ]をとる。


[解答と解説]
曲線C上の点Pのx座標をaってことはP(a,a^2)…ですね。
ここまでいいですか?

点Pにおける接線やから、微分しますね。
y'=2x
ここまでいいですか?

点Pにおける接線lやから、傾きと通る点がわかったから
y=2a(x-a)+a^2
=2ax-a^2
ここまでいいですか?


こんなペースで終わるか!


と言うことでl:y=2ax-a^2がx軸と交わる点Qはy=0を代入して
2ax-a^2=0
a≠0よりaで割ってよくて
2x-a=0からx=a/2
だから
Q(a/2,0)

a>9のとき,曲線Cと直線lおよびx軸で囲まれた図形の面積は

center20112b21.jpg

こうやって図を書いて図で考えるねん。
それでだいたい前問が誘導になってて、lとx軸の交点を求めさせられてるから、三角形の面積がわかるわけですわ。

求める面積=∫(0,a)x^2dx-1/2(a-a/2)a^2
=[x^3/3](0,a)-a^3/4
=a^3/3-a^3/4
=a^3/12


a<2のとき,曲線Cと直線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積Tは同じように図を書いて

center20112b22.jpg

求める面積=∫(a,2){x^2-(2ax-a^2)}dx
=∫(a,2)(x-a)^2dx
=[(x-a)^3/3](a,2)
=(2-a)^3/3

こうやってy=x^2とl:y=2ax-a^2はx=2で接するから
(x-a)^2って因数分解されるねん。

どこで交わるとか接するから因数分解できるのネタはよくあるから、覚えておいてください。

だいぶん積分の計算楽になるからな。


よく積分の計算が早くなりません、うへ~

って言うてる子いるけど、これは自己流でやってるからであって、解答例とか写していって、こういう解き方を真似していかな成長が遅いねん。


と言うことで最後に展開しなあかんかったな。

T=(2-a)^3/3
=-a^3/3+2a^2-4a+8/3


はい、

U=S+T
ですね。

U=a^3/12-a^3/3+2a^2-4a+8/3
=-a^3/4+2a^2-4a+8/3
ってやってもええけど、
{(ax+b)^n}'=na(ax+b)^(n-a)
の微分になれてる人はバラす前の方が若干らくかもしれんな。

U=a^3/12+(2-a)^3/3

これの最大値と最小値を調べるわけやから、微分します

U'=a^2/4-(2-a)^2
=(-3a^2+16a-16)/4
=-(3a-4)(a-4)/4

ほんま若干やな。
これやっぱ意味なかったかもしれんな…
え、どっちが早いんやろ

U=-a^3/4+2a^2-4a+8/3
を微分して
U'=-3a^2/4+4a-4
=(-3a^2+16a-16)/4
=-(3a-4)(a-4)/4

2,7秒くらい早い…とかずっと考えてたら、チャイムがなって何もかも終わった!って家に帰って食器とか割りまくってお母さんが泣いてて、そこにお父さんが帰ってきて一本背負いされてゲホゲホ血吐いて、それを後ろから妹がお兄ちゃんこれで私とずっと一緒だねって見つめられてると言うことになります。

そうならないように、どっちでもええから早く計算してください。


これで0≦a≦2の範囲で増減表を書くねんけど、センターの場合は
極値はa=3/4と4でとるわけやから、端点と極値で最大、最小になるから
U=a^3/12+(2-a)^3/3
と展開する前の方に入れるのがたぶん楽で
a=0の時,U=8/3
a=4/3の時,U=4^2/3^4+2^3/3^4=24/3^4=8/27
a=2の時,U=8/12=2/3


a=2の時、最大値8/3
a=4/3の時、最小値8/27

center20112b23.jpg

一応グラフ書いておきますわ。


センター試験の過去問の解説




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