受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第3問…数列の問題の解説
パターゴルフやってたら赤ちゃんの頭を打ってて血だらけになった午後ですね。

センター試験2011年度2Bの第二問の数列の問題の解説

[問題]
数直線上で点Pに実数aが対応しているとき,aを点Pの座標といい,座標がaである点PをP(a)で表す。
数直線上に点P_1(1),P_2(2)をとる、線分P_1P_2を3:1に内分する点をP_3とする。一般に,自然数nに対して,線分P_nP_(n+1)を3:1に内分する点をP_(n+2)とする。点P_nの座標をx_nとする。

x_1=1,x_2=2であり,x_3=[ア]/[イ]である。数列{x_n}の一般項を求めるために,この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対してy_n=x_(n+1)-x_nとする。

y_1=[ウ],
y_(n+1)=[エオ]/[カ]y_n
(n=1,2,3,…)

である。したがって,y_n=([エオ]/[カ])^[キ] (n=1,2,3,…)であり
x_n=[ク]/[ケ]-[コ]/[ケ]・([エオ]/[カ])^[サ] (n=1,2,3,…)

となる。ただし,[キ],[サ]については,当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

(0)n-1
(1)n
(2)n+1
(3)n+2

次に,自然数nに対してS_n=Σ(k=1~n)k|y_k|を求めよう。r=|[エオ]/[カ]|とおくと

S_n-rS_n=Σ(k=1~[シ])r^(k-1)-nr^[ス]
(n=1,2,3,…)
であり,したがって
S_n=[セソ]/[タ]・{1-(1/[チ])^[ツ]}-n/[テ]・(1/[ト])^[ナ]

となる。ただし,[シ],[ス],[ツ],[ナ]については,当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
(0)n-1
(1)n
(2)n+1
(3)n+2

[解答と解説]
これは

「数列の問題で失敗しました。
なんでか?」

ってメールが4通くらいきた思い出の問題です。


と言うことで説明していきましょか。


P_3は線分P_1P_2を3:1に内分する点やから、これは内分点の公式ですね。

A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)として線分ABをm:nに内分した点の座標は
((na_1+mb_1)/(m+n),(na_2+mb_2)/(m+n))
やったな。

今は数直線上ってことでx座標だけやから

x_3=((1・x_1+3・x_2)/(3+1)
=7/4

それでこのおっさんは数列{x_n}の一般項をどうやら求めたらしい。


その辺は何となく読んで意味とか考えません。


読み進めるとy_n=x_(n+1)-x_nとする

って書いてるから、意味わからんままにやります。


y_1=x_2-x_1
=2-1=1

これは普通やな。

y_(n+1)=x_(n+2)-x_(n+1)
これと
y_n=x_(n+1)-x_n

これは見比べる、どうやらx_nの何らかの漸化式がいるみたいやな。

と言うことで、まだ使ってない条件

線分P_nP_(n+1)を3:1に内分する点をP_(n+2)とする。

だから

x_(n+2)={1・x_n+3・x_(n+1)}/(3+1)
=1/4・x_n+3/4・x_(n+1)

これでx_(n+2)がx_nとx_(n+1)であらわせるな。


y_(n+1)=x_(n+2)-x_(n+1)
=1/4・x_n+3/4・x_(n+1)-x_(n+1)
=-1/4・x_(n+1)+1/4・x_n
=-1/4・(x_(n+1)-x_n)
=-1/4・y_n

したがって
y_n=(-1/4)^[キ]
まあ等比数列をもし忘れたとしても
n=1の時,y_1=1やねんから、[キ]にはn-1が入るってわかるとこやな。

こうやってセンターではn=1,2,3,…ってやつはn=1,2とか代入して成り立つ数字を入れてしまったら求まったりしてまいます。

今の場合ちゃんとやると{y_n}は初項が1、公比が-1/4より
y_n=1・(-1/4)^(n-1)
=(-1/4)^(n-1)

と言うことで、y_n=x_(n+1)-x_nやったから

公式から
n≧2で
x_n=y_1+Σ(k=1~n-1)y_k
=1+Σ(k=1~n-1)(-1/4)^(k-1)
=1+{1-(-1/4)^(n-1)}/(1+1/4)
=1+4/5-4/5・(-1/4)^(n-1)
=9/5-4/5・(-1/4)^(n-1)

n=1を代入したら
x_1=9/5-4/5
=1

でn≧1で成立してるし,n=2を代入してみたら
x_2=9/5-4/5・(-1/4)
=10/5
=2

これで答えを確信できます。
もし違う値が出れば、どっかで計算間違いしてることに気づきます。

ただやり過ぎたら、時間なくなるから、この程度ぐらいのことしかやらない方がええやろ。

後はおかしくなってきたら、どこが間違えてるか探すときにやる感じです。



S_n=Σ(k=1~n)k|y_k|を求めようってなんか言うてますね。

r=|[エオ]/[カ]|とおくと
つまり
r=|-1/4|=1/4

|y_k|=|(-1/4)^(k-1)|
=1/4^(k-1)
ってことで絶対値とかいかついこと書いてるけど、実は単純です。


等差数列×等比数列の形の和ですが
S_n-rS_n=Σ(k=1~[シ])r^(k-1)-nr^[ス]
ってちゃんと解き方が誘導されてます。

と言っても、やったことないと出来へんな。


S_n=1+2r+3r^2+…+nr^(n-1)
rS_n= r+2r^2+…+(n-1)r^(n-1)+nr^n

これでrの次数が同じとこを引き算します。
2r-r=r
3r^2-2r^2=r^2

n^r(n-1)-(n-1)r^(n-1)=r^(n-1)
やな。
だから
S_n-rS_n=1+r+r^2+…+r^(n-1)-nr^n
=Σ(k=1~n)r^(k-1)-nr^n

まあΣは全部書き下せって言う処理を覚えてればやれると言えばやれるねんけど、やっぱ知ってるから解けるねん。

と言うことでさっきの式から
(1-r)S_n=Σ(k=1~n)r^(k-1)-nr^n
(1-r)S_n=(1-r^n)/(1-r)-nr^n
S_n=(1-r^n)/(1-r)^2-nr^n/(1-r)

ここでr=1/4だから
S_n=(1-(1/4)^n)/(1-1/4)^2-n(1/4)^n/(1-1/4)
=16/9・(1-(1/4)^n)-4n/3・(1/4)^n

解答蘭の形に無理やりあわせて

S_n=16/9・(1-(1/4)^n)-n/3・(1/4)^(n-1)


Σ(k=1~n)k・r^(k-1)-r・Σ(k=1~n)k・r^(k-1)
=Σ(k=1~n)r^(k-1)k(-r)-Σ(k=1~n)k・1/4^(k-1)


これはよくあるパターンが組み合わせられた問題ですね。

これが出来なかったとしたら

○センターの過去問を繰り返しまくってセンターの考え方を覚える

○数学2Bの例題レベルの問題を覚えて根本的なレベルをあげる

って言うところの、根本的なレベルの方が足りないって原因が大きいと思う問題なので

内分点の公式や、漸化式への応用、階差数列、等差数列×等比数列の和

辺りをわんこら式を参考にチャートとかでやって覚えておいてください。

センター試験の過去問の解説




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