受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2011年度の第4問…ベクトルの問題の解説
鼻毛かきむしられた日の午後って感じやな。


センター試験2011年度数学2Bの第4問のベクトルの解説いきます。

[問題]
四角錐OABCDにおいて,三角形OBCと三角形OADは合同で,OB=1,BC=2,OC=√3であり,底面の四角形ABCDは長方形である。AB=2rとおき,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。

center20112b41.jpg

OD→をa→,b→,c→を用いて表すとOD→=[ア]→-[イ]→+c→である。辺ODを1:2に内分する点をLとすると
AL→=-([ウ]/[エ])a→-([オ]/[エ])b→+([カ]/[エ])c→
となる。

さらに辺OBの中点をM,3点A,L,Mの定める平面をaとし,平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから,AN→は実数s,tを用いてAN→=sAL→+tAM→と表されるので
ON→=([キ]-([ク]/[ケ])s-t)a→+(-s/[コ]+t/[サ])b→+(s/[シ])c→

となる。一方,点Nは辺OC上にもある。これから,ON→=([ス]/[セ])c→となる。
またa→・b→=[ソ]-[タ]r^2,b→・c→=[チ],a→・c→=[ツテ]r^2である。よって,AM→・MN→を計算すると,AB=√[ト]のとき,直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。


[解答と解説]
わたくし…ベクトルですよね。

また狂いだしたか。


と言うことでOD→やな。

これはOを始点にしててOA→=a→,OB→=b→,OC→=c→と言うようにa→,b→,c→が基本ベクトルにしてるわけです。

だから、Oを始点に分解して基本ベクトルであらわすのがよくあるやり方やな。

なんか二回同じこと言うてるような。


でもセンターの場合は結構、単につなげていくことが多いねんな。

OD→=OC→+CD→
=c→+OD→

CD→=BA→
=OA→-OB→
=a→-b→

だから

OD→=c→+a→-b→
=a→-b→+c→

はい、いいですね。

ODを1:2に内分する点をLと書いてるから

OL→=1/(1+2)・OD→
=1/3a→-1/3b→+1/3c→

でも、AL→をa→,b→,c→で表せってことです。
つまりOを始点にすればええねん。

AL→=OL→-OA→
=1/3a→-1/3b→+1/3c→
=-2/3a→-1/3b→+1/3c→


次は平面と辺との交点を基本ベクトルであらわす問題やな。

ベクトルの基本的な問題がパっと出るようにしておけば、問題ないとこやな。

○点Nは平面α上
○点Nは辺OC上

これを式にあらわしていくねん。

そうやって誘導もしてくれてるな。



center20112b42.jpg

点Nは平面α上ってことから、平面α上の適当な一次独立AL→とAM→を二つとって、その二つのベクトルであらわされたらええねん。
それが
AN→=sAL→+tAM→
やな。

でもそんなん考えずに、なんか意味はわからんけど。
AN→=sAL→+tAM→
ってあらわされてON→を求めるには始点をOにしたらええって言うようにやるのがセンターやな。

ON→-OA→=s(OL→-OA→)+t(OM→-OA→)

Mは辺OBの中点より
OM→=1/2OB→
=1/2b→

ON→=a→+s(1/3a→-1/3b→+1/3c→)-sa→+t/2b→-ta→
=(1-2s/3-t)a→+(-s/3+t/2)b→+s/3c→


次は点NはOC上ってことやから
ON→=kc→
となるkが存在して

ON→=(1-2s/3-t)a→+(-s/3+t/2)b→+s/3c→

と係数比較して

1-2s/3-t=0
-s/3+t/2=0
k=s/3

これを解いて
s=3/4
t=1/2
k=1/4
ON→=1/4c→

a→・b→は△OABで三辺の長さがわかってるから余弦定理で出るわけですわ。

cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA・OB)

だから
a→・b→=1/2・(OA^2+OB^2-AB^2)
=1/2(1+1-4r^2)
=1-2r^2

でもこれは一般的にx→,y→に対して
x→・y→=1/2・(|x→|^2+|y→|^2-|x→-y→|^2)
が成り立つから、これを覚えていきなり

a→・b→=1/2・(|a→|^2+|b→|^2-|a→-b→|^2)
っていきなり求めていけるようにしたら、ええとこやな。

同様にして
b→・c→=1/2・(|b→|^2+|c→|^2-|b→-c→|^2)
=1/2・(|OB|^2+|OC|^2-|BC|^2)
=1/2・(1+3-4)
=0

a→・c→=1/2・(|a→|^2+|c→|^2-|a→-c→|^2)
=1/2・(|OA|^2+|OC|^2-|AC|^2)
=1/2・(1+3-(AB^2+BC^2))
=1/2・(1+3-4r^2-4)
=-2r^2

AM→・MN→は直線AMと直線MNは垂直ってことやから0やな。

AM→・MN→=0
(OM→-OA→)・(ON→-OM→)=0
(1/2b→-a→)・(1/4c→-1/2b→)=0
-1/4-1/4・(-2r^2)+1/2・(1-2r^2)=0
1/4-r^2/2=0
r=1/√2
つまり
AB=2r=√2

今日もお疲れ様でした。

またあえる日を楽しみにしてるね。

ばいば~い♪

センター試験の過去問の解説




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