受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円と直線の問題、東京大学2011年度理系第1問の解説
暑いときは、入り口がふさがるな。

と言うことで、東京大学2011年度理系の第一問の解説をやります。


[問題]
toudai2011ri11.jpg

座標平面において,点P(0,1)を中心とする半径1の円をCとする。aを0<a<1を満たす実数とし,直線y=a(x+1)とCとの交点をQ,Rとする。
(1)△PQRの面積S(a)を求めよ。
(2)aが0<a<1の範囲を動くとき,S(a)が最大となるaを求めよ。


[解答と解説]
y=a(x+1)と言うことは、さては…はは~ん。

なるほど、そういうことか。

これは…(-1,0)を通るってことやな。

定点通過ってやつやな。

もうこっちはわかっとんねん。

toudai2011ri12.jpg

だからy=a(x+1)がx軸正方向とのなす角度をαとするとtanα=aで
∠QPR=θとしたら
S(a)=1/2・1・1・sinθ
やろ。

だからθをαで表して…

ってやってると、補助線引きまくってぐちゃぐちゃになっていって、いらいらしてきて、だんだんむかついてきて消しゴムを隣の受験生に投げつけて

toudai2011ri13.jpg

ふるえ~!

ってクロスカウンターしてることになります。


もしかしたら出来るんかもしれんけど厳しいかもしれんな。



じゃあ、どうしたらいいのかと言うと、定点通過とか大切には大切やけど細かいねん。

もっと基礎的なこととして、

円と直線の問題は点と直線の距離の公式が計算が簡単になりやすい

って言うのがありましたよね。


例えば

toudai2011ri14.jpg

x^2+y^2=1に接する直線で(2,1)を通るものを求めなさい

これは色々やり方があるけど、一番簡単なのは点と直線の距離の公式を使う方法です。

x軸に垂直な場合は、y=m(x-a)+bの形に表せないからそれは注意やねんけど。


中心と直線との距離=半径

と言う式をたてればええわけやな。



だからこの問題でも点と直線の距離の公式を使うのが計算が簡単になりやすくて

toudai2011ri15.jpg

点Pから直線y=a(x+1)に垂線PHをおろすと
ax-y+a=0から
PH=|0-1+a|/√(a^2+1)

0<a<1やから絶対値ははずれて
PH=(1-a)/√(a^2+1)


これで後はQRが求まれば△PQRの面積が求まるけど、
円の問題では、

中心から弦に垂線を引くと垂直二等分線になる

って言う円の性質をよく使います。

だから、これ使うかもしれんって言う思考パターンを覚えてくれたらええねん。


と言うことで
QR=2QH=2√(QP^2-PH^2)

QP=1,PH=(1-a)/√(a^2+1)
やから計算して

QR=2√(2a)/√(a^2+1)

よって
S(a)=1/2・PH・QR=(1-a)√(2a)/(a^2+1)


ここでちょっとおまけの話しとして、点と直線の距離を使うと絶対値の部分をはずすのがポイントやったりすることがあるねんな。

toudai2011ri16.jpg

この問題はすぐにわかるねんけど、ちょっと話をすれば基本的には
F(x,y)=ax+by+c

とするとF(x,y)=0は直線をあらわすけど、この直線によって平面が
F(x,y)>0
となる正領域と
F(x,y)<0
となる負領域にわけられるねん。

これは例えば一点(x1,y1)でも代入して、もしF(x1,y1)<0と言うようになればその点を含む側の平面は負で反対側は正ってわかるねん。

それで点と直線の距離の公式では、点を代入するけどどっち側の領域かってことを考えたら絶対値がはずせるわけやねん。


この問題でもF(x,y)=ax-y+aとすると計算しやすい原点代入したらF(0,0)=a>0で原点が入る方が正領域と言うことは、P(0,1)の方は反対側やから負領域でマイナスではずしたらええってことがわかるから

-(0-1+a)/√(a^2+1)

と出来るわけですわ。



そしたら、おっさんがまた何か言うてたと言うことで次に行こか。

(2)
ただ単に微分するだけやねんけど、ちょっと計算がややこしいのがいかにも東大って感じやな。
それでも、簡単な方なのでしっかりあわせたいとこですね。


√が入ってる積分ですが

toudai2011ri17.jpg

例えばa√aを微分しろ言われたら、積の微分使って

(a√a)'=√a+a1/(2√a)
(3√a)/2

ってやってたらちょっと面倒くさいと思うねんな。

そこで

(a^(3/2))'=3/2・a^(1/2)

って言うように、とにかくはa^(3/2)みたいにaの何乗の形に全部なおすのが計算しやすくて間違えにくいかなって思いますわ。

toudai2011ri18.jpg

だからS(a)=√2(a^(1/2)-a^(3/2))/(a^2+1)

で根性で微分してください。

toudai2011ri19.jpg

後は増減表でも書いて、a=2-√3でオッケーですね。



最初に角度で考えるとしんどいと言ってんけど、

toudai2011ri110.jpg

∠QPR=θとすると

S(a)=1/2・1・1・sinθ

やからθ=90°の時に最大って言うのはすぐにわかります。


だからPH=1/√2の時なので

(1-a)/√(a^2+1)=1/√2

を解けばaの値は微分しなくてもすぐに出てまいます。


ただここでのポイントは、やっぱり直線と円の問題ではPHが計算簡単になりやすいってとこやねんな。

だからθ=90°とわかっても、PH=1/√2と言うようにPHの値に話を持っていくから簡単なであって


S(a)=1/2やから

√2(a^(1/2)-a^(3/2))/(a^2+1)=1/2

とやっても計算できるには出来るけど大変やし、

tanα=aとしてαの角度を求めるとか言うようにやっても大変やと思うねんな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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