受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

軌跡の問題…東京大学2011年度理系文系共通第四問の解説
そんな使い古された物干し竿いらんのや。

と言うことで東京大学2011年度理系文系共通第四問の解説

[問題]
toudai2011ri401.jpg

座標平面上の1点P(1/2,1/4)をとる。放物線y=x^2上の2点Q(α,α^2),R(β,β^2)を,3点P,Q,RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき,△PQRの重心G(X,Y)の軌跡を求めよ。


[解答と解説]
これはな…ええ問題ですやん。

ええやないか、ええやないか。


またキモイおっさんが一人いるな。



と言うことで、これは多変数の処理の問題でほんまよく出る問題で解法丸暗記して欲しいねん。

去年も回転体の体積と多変数関数の値域の問題、東京大学2010年度理系第1問の解説が出てるし、」


同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)

逆手流、逆像法は独立変数にして定義域を求めている

の記事を参考にして、確実に完答出来るようにしてください。



それでは解説していきます。

○まず条件を式にする。
toudai2011ri402.jpg

この問題での条件は

△PQRがQRを底辺とする二等辺三角形
△PQRの重心をG(X,Y)とする

です。

△PQRがQRを底辺とする二等辺三角形は

Q≠RでPQ=PR

とやればあらわせます。
Q=Rやったら三角形にならないからな。

だからさらに式化していくと

α≠βで(α-1/2)^2+(α^2-1/4)=(β-1/2)^2+(β^2-1/4)^2

これを整理していくわけですが、
α=βだとこの式は成立するので(α-β)でくくれるはずです。

と言うことは同じ次数のものをセットにしていったらよくて

α^4-β^4+1/2(α^2-β^2)-(α-β)=0

(α-β){(α+β)(α^2+β^2)+1/2(α+β)-1}=0

α≠βやからα-β≠0なのでα-βは割って問題ありませんね。


(α+β)(α^2+β^2)+1/2(α+β)-1=0


もう一つの△PQRの重心G(X,Y)は
X=(α+β+1/2)/3
Y=(α^2+β^2+1/4)/3
でいいですよね。

toudai2011ri409.jpg


よっしゃそしたら、これはもうα+β,α^2+β^2を消去したら終わりやろ

って代入していくと
(3X-1/2)(3Y-1/4)+1/2(3X-1/2)-1=0

あれ?そういえばD>0とかいるんやったっけ?

えっと…

おえ~!?

とやってると




五時間後…


おかんがえらい出てこうへんなって部屋を覗きにいくと…


toudai2011ri410.jpg

たかし~!!


ってこんなわけわからんことなります。


これでは、受験勉強の前に北海道の無人島とかで静養させられます。


こんなたかし君みたいなことにならないためには、

条件を見落としにくい立ち回り
文字消去するとはどういうことなのか?

ってことを意識して欲しいねん。


と言うことで、もっとさらっと解答書いたらいいんですが、勉強のためにわざとくどいネチネチしたしつこい解答を書きます。

別にオレがおっさんになってきたから、サラっとキスして抱きしめてたらいいのに、膝に指を置いてツー…って奥に移動させると見せかけて、また膝に戻してくるのを五時間ぐらい繰り返すと言うネチネチした責めをするようになってきたと言うわけではありません。



そんな解説いらんわ!


まず条件を全部書き下します。

toudai2011ri403.jpg

α≠β
(α+β)(α^2+β^2)+1/2(α+β)-1=0
X=(α+β+1/2)/3
Y=(α^2+β^2+1/4)/3

こうやって全部見せられると、かずゆきは私をどうしたいの?って言うのが聞こえてきます。

どう料理したいのかと言うと、

αとβを消してX,Yを残したいねん。

それが軌跡やからな。


そしてこの文字消去やな。

文字消去とはどういうことか。

toudai2011ri404.jpg

文字消去って言うのは、

「存在するように消す」

って言う操作が必ずいるねん。


これはその文字について解いて、定義域を求めるって言うことと同じやねん。


この問題ではαとβを消去したいから、α,βについて解いてX,Yであらわそうとすると

α+β=3X-1/2
α^2+β^2=3Y-1/4

対称式やから

αβ=1/2{(α+β)^2-(α^2+β^2)}
=1/2{(3X-1/2)^2-(3Y-1/4)}

これでαとβについて解くにはそら解と係数の関係を使って二次方程式作って解けばええわけやな。

t^2-(3X-1/2)t+1/2{(3X-1/2)^2-(3Y-1/4)}=0

すると、これは判別式をDとしてα≠βの解を持つには
D>0
となるX,Yやったらα≠βとなるα,βが存在するようになります。

toudai2011ri405.jpg

D=(3X-1/2)^2-2{(3X-1/2)^2-(3Y-1/4)}
=2(3Y-1/4)-(3X-1/2)^2>0

(3Y-1/4)>1/2(3X-1/2)^2

よってα,βを消去すると

(α+β)(α^2+β^2)+1/2(α+β)-1=0に
α+β=3X-1/2
α^2+β^2=3Y-1/4
を入れていって

(3X-1/2)(3Y-1/4)+1/2(3X-1/2)-1=0
(3Y-1/4)>1/2(3X-1/2)^2

と整理すれば、これでα,βが存在するように消去できたわけです、

α,βはさっきの二次方程式から
t=(3X-1/2)±√(2(3Y-1/4)-(3X-1/2)^2)/2
の式によって

X,Yを決めれば勝手に決まっていくねん。

つまりX,Yは
(3X-1/2)(3Y-1/4)+1/2(3X-1/2)-1=0
(3Y-1/4)>1/2(3X-1/2)^2
さえ満たしていれば、α,βは勝手に決まるからX,Yのことだけ考えたらよくなるねん。

これが、文字消去ってことやねん。

もの凄く基本的なことやねんけど、これが難しいもんやねんな。

東大の過去問やって初めてわかるぐらいやな。


しかしこれが出来るようになれば、東大の問題は余裕で完答出来るって言うのが結構出来るのでぜひ以前の記事などで勉強してください。

toudai2011ri406.jpg

整理していくと

3Y-1/4=1/(3X-1/2)-1/2
3Y-1/4>1/2(3X-1/2)^2

です。

何Yで整理するんじゃなくて(3Y-1/4)と(3X-1/2)の塊で整理してるのかと言うと、

普通、展開はしないもんやねんな。


これは展開しなあかんなって追い詰められてから展開するもんやねん。


展開をしなあかんって言うのは、それは中学生の時にマインドコントロールされてるわけですね。


意外とここで処理能力の差が結構出るんかもしれんけどな。

toudai2011ri407.jpg

後はどうやって整理するかと言うと、
3Y-1/4=1/(3X-1/2)-1/2を3Y-1/4>1/2(3X-1/2)^2に代入して、Xの範囲を出せばええとこやな。

理系ならもうここで分数関数と二次関数を書いて終わりやねんけど、

ただ文系は分数関数は一応数学3ってことで扱わないから、Xの範囲を出すとか計算しておくことにしました。


たぶんこれは東大や京大でよくあるんですが、文系でも本当は数学3Cまでやっておいて欲しくて、もちろん文系でも数学3Cの知識は使ってよくて知ってると少しだけ有利にしてるねん。

3Y-1/4を消去して

1/(3X-1/2)-1/2>1/2(3X-1/2)^2

これは(3X-1/2)をかけないといけないけど、正と負で符号が変化するから
(3X-1/2)^2>0より2乗してかけて整理すると便利やねん。

(3X-1/2)-1/2(3X-1/2)^2>1/2(3X-1/2)^4

(3X-1/2)でくくって整理してください、

(3X-1/2){(3X-1/2)^3+(3X-1/2)-2}<0

さらに因数分解して
(Z^3+Z-2と考えてZ=1で0やから(Z-1)でくくれると考える)

(3X-1/2){(3X-1/2)-1}{(3X-1/2)^2+(3X-1/2)+2}<0

(3X-1/2)^2+(3X-1/2)+2=0は解なしやから、説明のために平方完成してしまったらええかな

(3X-1/2)^2+(3X-1/2)+2={(3X-1/2)+1/2}^2+7/4>0
より
(3X-1/2)(3X-3/2)<0

1/6<x<1/2

よって軌跡は

3Y-1/4=1/(3X-1/2)-1/2
を一応整理して

Y=1/9・1/(X-1/6)-1/12
(1/6<X<1/2)

と答えたらオッケーです。


toudai2011ri408.jpg

さっき言うたように、理系ならもう分数関数として処理して図を書いて答えてしまってください。

図をかくと1/6<x<1/2はすぐにわかります。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/449-7026948a
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析