受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数と場合の数の問題…東京大学2011年度理系第5問文系第3問の解説
人が食べるソーセージを横から握られたらどんな気分になるか考えたことないんやろな。

まあええけどな。

そしたら、東京大学2011年度理系第5問文系第3問の解説をします。


[問題]
toudai2011ri501.jpg

p,qを2つの正の整数とする。整数a,b,cで条件
-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たすものを考えて,このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ。
各(p,q)パターン[a,b;c]に対して
w([a,b;c])=p-q-(a+b)
とおく。

(1)(p,q)パターンのうちw([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ。
また,w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ。
以下p=qの場合を考える

(2)sを整数とする。(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ。
(3)(p,p)パターンの総数を求めよ。


(文系は(2)まで)
[解答と解説]
なるほど

toudai2011ri502.jpg

w([a,b;c])=-qより
p-q-(a+b)=-q
やから
a=p-b

-q≦b≦0≦p-b≦pって言うやつがあるから、これに代入してみたらええんちゃうか。

そしたら
p≦b
って言うことはp=1,2,3,…,b-1

これオレ…もしかしたらいけてるかもしれんのちゃうん。

b≦c≦aにも代入して
b≦c≦p-b

だから…

えっとこれは…


ってやってると



夜中にコンコンってドアがなるから、開けたら…




toudai2011ri503.jpg


こんなスヌーピーが無理やり入ってきます。

ドアを閉めようとしても、

ガ!

って間に足を入れてきます。




こんなスヌーピーが入ってきたら、お引取り願うのが大変です。

「君、その考え方はやめた方がいいと思うよ」

とかずっと言うてきて、気が狂いそうになります。

絶対帰ってくれません。




こういう風に、東大の問題は何が難しいのかと言うと問題の意味が難しい問題も多いねん。
この問題なんか解くんは簡単やからな。


じゃあややこしいスヌーピーが訪ねて来なくするためにはどうしたらいいのかと言うと

過去問を問題と解答をセットで覚えるくらい繰り返して

「数学語」を覚えるねん。


よく問題を読み間違えたら国語力が足りないとか言うけど、じゃあ国語の勉強したら伸びるのか言うたら普通に考えてそんなわけがないやろ。

しかもだいたい国語出来るやつは数学が苦手で、数学が得意な人は国語苦手やしな。


それは単に国語と数学どっちに時間をかけてきたかって言う話なだけやねん。


数学は数学の言い回しがあって例えば

「ほとんど全て」のxに対して書かれたら、

測度0の集合を除いてって言う意味やからな。

測度って言うもんは、集合から体積を定義する関数な。


全然日本語の「ほとんど全て」と違うねん。


国語をいくら勉強しても、これは測度0の集合やなってわかるようにはならへんねん。
ルベーグ積分とか測度論を数学の専門書で勉強したりしないと、わからへんねん。

toudai2011ri504.jpg

だからな数学語やと思って、過去問とかで問題の言い回しとその意味を覚えたらええねん。

この問題では
(p,q)パターンのうち
w([a,b;c])=-qとなるものの個数
と書いてるけど、問題文の意味からもっと噛み砕くと

-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たす整数a,b,cのうち
p-q-(a+b)=-qとなるものの個数を求めろ

って意味ですね。

そしたら、これはa,b,cの組み合わせを求めろって意味ですよね。

だから
p,qが定数の扱い
a,b,cが変数の扱いで
(a,b,c)の解の個数を求めろ

言うてるねん。



そしたら解答を書いていきます。

この問題も多変数処理なので、東大で非常に多いパターンやから、

参考→同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)

勉強のために間違えにくく完ぺきに解ける、くどいネチネチした解答を書きます。


別にオレがおっさんになってきたから、サラっとキスして抱きしめてたらいいのに、膝に指を置いてツー…って奥に移動させると見せかけて、また膝に戻してくるのを五時間ぐらい繰り返すと言うネチネチした責めをするようになってきたと言うわけではありません。

だからその解説いらんって。


toudai2011ri505.jpg

w([a,b;c])=-qより
p-q-(a+b)=-q
ってことで
a=p-b

○全部条件を書き下す

-q≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
a=p-b

これでaを消去したらええねん。
そのためには全部aをp-bにしたらよくて

-q≦b≦0≦p-b≦p
b≦c≦p-b
a=p-b

これで
-q≦b≦0≦p-b≦p
b≦c≦p-b
さえ満たせば、b,cによってaはa=p-bで勝手に一つ決まるので,b,cのことだけ考えたら済むようになります。

これが文字消去ってやつなんですね。

toudai2011ri506.jpg

-q≦b≦0≦p-b≦p
はbについて整理すると0≦p-b≦pの部分は0≦b≦pやから

-q≦b≦0
0≦b≦p

これを両方満たすのはb=0だけになります。

だから
b≦c≦p-b⇔0≦c≦p

このcはc=0,1,2,…,p
で個数は
(最後)-(最初)+1
やから何も考えずにパっとだしてください。

p-0+1=p+1個です。

これが解の個数でもあるからp+1個ですね。


後は全く同じです。

toudai2011ri507.jpg

w([a,b;c])=pは

q≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
p-q-(a+b)=p

と言う意味で、a消去して整理すると

a=-q-b
-q≦b≦0
-q-p≦b≦-q
b≦c≦-q-b

これでb=-qって決まって

-q≦c≦0だからこの個数は

0-(-q)+1=q+1


(2)
toudai2011ri508.jpg

同じようにやるだけなんですが、整理していってみると

w([a,b;c])=-p+s

-p≦b≦0≦a≦p
b≦c≦a
p-p-(a+b)=-p+s



a=p-s-b
-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
b≦c≦p-s-b

となって
-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
を満たすbって言うのが、sによって変わります。

この場合わけがちょっとややこしいねん。


そうやな、絶対値はずすときの場合分けみたいに
sの切り替わりポイントを計算して数直線で場合わけしたらええかな。

大小関係の詳細まで一気に考えるんじゃなくて、まず切り替わりポイントだけ考えとくとやりやすいかなってとこやな。

toudai2011ri509.jpg

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

bの範囲が切り替わるのは端点が一致するときです。

-s=0⇔s=0
-s=-p⇔s=p
p-s=0⇔s=p
p-s=-p⇔s=2p
の四つで数直線で考えると

s<0と0≦s≦pとp<s≦2pと2p<s

の四つやな。

sが小さい方から始まって進んできてここでは
0<-s
-p<-s
0<p-s
-p<p-s

やねんけど、s=0の切り替わりポイントを越えると0<-sだけ大小関係が切り替わり、

-s<0
-p<-s
0<p-s
-p<p-s

さらに進めてs=pを越えると二つ切り替わって

-s<0
-s<-p
p-s<0
-p<p-s

さらに進めてs=2pを越えると最後だけ切り替わって

-s<0
-s<-p
p-s<0
p-s<-p

やな。

toudai2011ri510.jpg

(i)s<0の時
0<-sやから

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

を同時満たすbはないから0個です。

(ii)0≦s≦pの時

-s≦0
-p≦-s
0≦p-sより

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

-s≦b≦0

と決まります。

後は
b≦c≦p-s-b
とあわせて、b-c図を書いて格子点の数を数えてもいいし

b=k(k=-s,-s+1,…,0)
ってbを固定するとcの個数は

(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個です。

だから

Σ(k=-s~0)(p-s-2k+1)

を計算したらえええん。

これはもう等差数列の和でぱっと計算した方が早いな。

1/2(初項+末項)×(項数)
な。

等差数列は並べると台形と同じやから台形の面積を考えて
1/2(上底+下底)×(高さ)

と同じ構想って言うように関連付けて覚えてくれてもいいし、

1/2(初項+末項)は平均をあらわしてると考えて

(平均)×(項数)

って覚えてもいいです。


1/2{(p-s+2s+1)+(p-s+1)}{0-(-s)+1}
=(p+1)(s+1)個

toudai2011ri511.jpg

(iii)p<s≦2pの時

-s<-p
p-s<0
-p≦p-s

より

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s

-p≦b≦p-s

同様に

b=k(k=-p,-p+1,…,p-s)
ってbを固定するとcの個数は

(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個

だから

Σ(k=-p~p-s)(p-s-2k+1)

1/2{(p-s+2p+1)+(p-s-2p+2s+1)}{p-s-(-p)+1}
=(p+1)(2p-s+1)個

(iv)2p<sの時

p-s<-pより

-p≦b≦0
-s≦b≦p-s
を満たすbはなくて0個

よって

s<0の時、0個
0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個
p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個
2p<sの時,0個


(3)
toudai2011ri512.jpg

(p,p)パターンを全部数えろってことは

w([a,b;c])=kとなる個数f(k)を数えて

Σ(k=-∞~∞)f(k)

を計算しろってことですが、すでに(2)で求まっています。

ほぼ絶対に前の問題が誘導になってるから、(2)を使うんちゃうかなって思うとこがここのポイントです。

-p+sはsを動かせば全ての整数を表せますよね。

でもsは

s<0.2p<sでは(p,p)パターンは0個でした。

だから
0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個
p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個
の部分だけ考えればよくて

Σ(s=0~p)(p+1)(s+1)+Σ(s=p+1~2p)(p+1)(2p-s+1)

これもsの等差数列やから1/2(初+末)×(項数)でパッパ計算してください。

後はもう疲れたから写真見てください。

(p+1)^3個です。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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