受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

体積を求める積分の問題…東京大学2011年度理系第6問の解説
ちょっと、まさるを割礼してくるわ。


また狂いだしたか。

と言うことで東京大学2011年度理系第6問の解説いっときます。


[問題]
toudai2011ri601.jpg

x,yを実数とし,x>0とする。
tを変数とする2次関数
f(t)=xt^2+ytの0≦t≦1
における最大値と最小値の差を求めよ。
(2)次の条件を満たす点(x,y)全体からなる座標平面内の領域をSとする。

x>0かつ,実数zで0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して
0≦xt^2+yt+z≦1
を満たすようなものが存在する。

Sの概形を図示せよ。

(3)次の条件を満たす点(x,y,z)全体からなる座標空間の領域をVとする。

0≦x≦1かつ,0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して
0≦xt^2+yt+z≦1
が成り立つ。

Vの体積を求めよ。


[解答と解説]
(1)
今日はもう疲れたから適当にいこか。


はい、二次関数です。

こんなんパっと出るようにしてくださいね。


(2)
0≦f(t)+z≦1
と言うことですね。

(3)
計算してください。


終わり。



今どつきまわされそうになった。



と言うことで2次関数の最大値と最小値ですが

toudai2011ri602.jpg

軸が定義域の左か入るか右で最小値の切り替わり
軸が中点より右か左かで最大値の切り替わりと言うことで

軸<左端
左端≦軸<中点
中点≦軸<右端
右端≦軸

とかパっと一瞬で図とセットで出るようにしてくださいね。

白チャートとかわんこら式のノリで繰り返して1題5秒が目標です。


toudai2011ri603.jpg

平方完成して
f(t)=x(t+y/2x)^2-y^2/4x

x>0やから処理はしやすいですね。

(i)-y/2x<0⇔y>の時
最大値f(1)=x+y
最小値f(0)=0

(ii)0≦-y/2x<1/2⇔-x<y≦0の時
最大値f(1)=x+y
最小値f(-y/2x)=-y^2/4x

(iii)1/2≦-y/2x<1⇔-2x<y≦-xの時
最大値f(0)=0
最小値f(-y/2x)=-y^2/4x

toudai2011ri604.jpg

(iv)1≦-y/2x⇔y≦-2xの時
最大値f(0)=0
最小値f(1)=x+y

これでいいと思いますが、まとめておいたら(2),(3)で使いやすいかもな。

最大値 最小値
x+y 0 (y>0)
x+y -y^2/4x (-x<y≦0)
0 -y^2/4x (-2x<y≦-x)
0 x+y (y≦-2x)

不等式のどっちに=いを入れるかとかは、好きなようにしてください。
面倒くさいなら、間違いじゃないからもう両方入れてください。

ただ、両方入ってないなら間違いです。


(2)
これはちょっと問題の意味が難しいな。

0≦f(t)+z≦1

ですが、もう本番は直感的に

f(t)が動く幅が1やったら後は+z、平行移動したらええから

最大値-最小値≦1

って感じでパっとやってください。



一応、解説と言うことで、ちゃんと説明します。

まず条件をわかりやすくするために以下のよくある読みかえをします。

toudai2011ri605.jpg

全ての実数xに対して
t≦f(x)
となる実数tの範囲は?

って言われると要するに
t≧max{f(x)}
となる実数tの範囲を求めたらよかったわけです。

(max{f(x)}はf(x)の最大値って言う意味)

全部の実数を考えなくても最大値だけ考えれば良かったですよね。


だからこの問題では

toudai2011ri606.jpg

0≦f(t)+z≦1

-f(t)≦z≦1-f(t)

だから0≦t≦1の全てのtに対して
-f(t)≦z≦1-f(t)
を満たすzが存在

と言うことは0≦t≦1における
左辺の最大値以上で右辺の最小値以下であればいいから

max(0≦t≦1){-f(t)}≦z≦min(0≦t≦1){1-f(t)}

ここで
max(0≦t≦1){-f(t)}=-min(0≦t≦1){f(t)}
min(0≦t≦1){1-f(t)}=1-max(0≦t≦1){f(t)}

やから

-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}

を満たすzが存在と考えたらええわけや。

それは左辺≦右辺であれば良いから

1-max(0≦t≦1){f(t)}-(-min(0≦t≦1){f(t)})≦0

max(0≦t≦1){f(t)}-min(0≦t≦1){f(t)}-1≦0


言葉で言うと

最大値-最小値-1≦0

ですね。


そしたら後は(1)で求めたのを入れていって整理やな。

toudai2011ri607.jpg

(i)y>0の時
x+y-0≦1⇔y≦1-x
y>0とあわせて
0<y≦1-x

(ii)-x<y≦0の時
x+y-(-y^2/4x)≦1

y^2+4xy+4x^2-4x≦0

-2x-2√x≦y≦-2x+2√x

解の公式を使って整理しても、まあまあ簡単になるねんな。

それで-x<y≦0との共通範囲を考えてx>0から
-2x-2√x<-x
なので下側は-x<yってすぐにわかりますが

上側は0と-2x+2√xの小さい方やから

-x<y≦min{0,-2x+2√x}

後はグラフ描くときに調べますわ。


(iii)-2x<y≦-xの時
0-(-y^2/4x)≦1

-2√x≦y≦2√x

これで-2x<y≦-xとの共通範囲を考えて上側は
-x<2√x
やからy≦-xですが

下側は-2xと-2√xの大きい方なので

max{-2x,-2√x}≦y≦-x

(iv)y≦-2xの時
0-(x+y)≦1

-x-1≦y
でy≦-2xとの共通範囲をとって

-x-1≦y≦-2x

(i)~(iv)よりSの概形は写真を見て下さい。

y=-2x+2√x
は微分してもいいねんけど
y=-2√x^2+2√x
と考えると√xの二次関数やから、増減は平方完成したら簡単にわかります。

y=-2(√x-1/2)^2+1/2

後は交点求めたりしてください。



(3)
toudai2011ri608.jpg

なるほど(2)で0≦x≦1の部分だけなら平行四辺形やな。

面積は1×1=1

後はzで積分して

∫1dz




ってやってると



toudai2011ri609.jpg

チーン

ってなります。


もうこんなん意味わかりませんよね。



これ(2)描いたのはzが存在する範囲やから
Sの断面図じゃなくてVを真上から見た図です。

toudai2011ri610.jpg

だから断面図は、色々なところが欠けるから平行四辺形じゃないねんな。


でも(2)が誘導になってるはずですよね。

これは確かに非常に普通な誘導をしています。


toudai2011ri611.jpg

例えば
x^2≦x+y≦2
であらわされる領域の面積は?

と言う問題があったとすると、これって

2-x=x^2-x
を解いてx=±√2で
∫(-√2,√2){2-x-(x^2-x)}dx
って解きますよね。


これは何をやってるのかと言うと
2-x=x^2-x
を解いてx=±√2
の操作で
yが存在するのは
-√2≦x≦√2
の範囲って求めてyをxで積分したってことやんな。

だから
この問題でも(2)で
zが存在するx,yを求めたと言うことは
zをx,yで積分する誘導
ってことやねん。

と言うことでxかyどっちか固定して積分していく感じやな。


本当は面積や体積を求めるときは、存在するような範囲を求めて、その範囲で積分するって言う操作をするもんやねんな。


なんでこんな超基礎的なことがわからないのか?、教科書を繰り返せばわかるようになるのか?って言うと、

そもそも基礎ってほんまにわかったんか言うたら、実はわかってないもんやねん。

わかるのレベルが違うねん。


例えばオレなら測度論も勉強してたから、積分見るだけで他の人と全然違う観点で物が見えててわかった言うてるわけや。

バームクーヘン積分とか、こんなん積分の構成を考えるとどう判断されるかわからんし、円柱座標をとってヤコビアン計算してわかることやしなとか色々頭に思い浮かんで使わない方がええやろなとか思うわけですね。

それで某予備校の有名講師は
「積分で大切なのは、軸に垂直だ」
と言ってるらしい話を聞くと、オレも同じこと言うわ、さすがよくわかってるなとか感じるわけですね。

体積=∫断面積d(垂直な軸)

が大切やねん。

これわかってないと、ほんまに間違えるからな。

参考→回転体の体積の問題、東京工業大学2009年度第4問の解説


だからな最初基礎を習っても、その基礎を深く理解するだけの経験や知識が足りないんですわ。

だからどんどん理解出来たり覚えられるところからやっていくことで、

あれとこれは関連性があるんじゃないか?

って本当にわかってくるわけやねんな。

だからこうやって東大の過去問とか通して基礎がわかればええねん。


さて余計な話を問題を忘れさせたところで、

体積=∫断面積d(垂直な軸)

やからxかyどっちかを固定してVを切って断面積を考えたいとこです。

toudai2011ri612.jpg

y固定して平面y=kで切ると、

xの範囲が結構場合わけ生じそうやろ。

今度はx固定して平面x=kで切ると0≦k≦1のどこでも

-1-k≦y≦1-k

やから、こっちが簡単そうです。


toudai2011ri613.jpg

-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}

でしたが、これでx=kで切って断面図を求めたいとこです。

zは四つの領域によって関数が切り替わって

(i)0<y≦1-x
最大値 x+y
最小値 0
やから
0≦z≦1-(x+y)

(ii)-x<y≦0
最大値 x+y
最小値 -y^2/4x
やから
y^2/4x≦z≦1-(x+y)

(iii)-2x≦y≦-x
最大値 0
最小値 -y^2/4x

y^2/4x≦z≦1

(iv)-x-1≦y≦-2x
最大値 0
最小値 x+y
-(x+y)≦a≦1

x=kを代入して考えて図を書くとわかりやすいです。

この断面積のS(k)とでも置いとこか。

toudai2011ri614.jpg

最後は積分するだけです。

上の関数の積分-下の関数の積分

で直線は台形になるから台形の面積でも利用して解いてください、

すると
17/18
になります。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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