受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の問題…東京大学2011年度文系第1問の解説
さて、今からどてらすけど覚悟してくれ。


だからそれどういう意味やねん。


東京大学2011年度文系第1問の解説


[問題]
toudai2011bu1.jpg

xの3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
が,3つの条件
f(1)=1,f(-1)=-1,∫(-1,1)(bx^2+cx+d)dx=1
を全て満たしているとする。

このようなf(x)の中で定積分
I=∫(-1.1/2){f''(x)}^2dx
を最小にするものを求め,そのときのIの値を求めよ。
ただし,f''(x)はf'(x)の導関数を表す。


[解答と解説]
toudai2011bu2.jpg

東大文系で積分の問題が出たら

「普通に解く!」

がパターンです。


ほんまこれは毎年のように出るな。


他の大学と違って何かテクニックを使うとかじゃないねん。

こうやって普通に解くと思うだけで、だいぶん解きやすくなるから過去問やりまくって覚えて下さい。




そしたら…やっていきますか。

toudai2011bu3.jpg

まず条件を全部式に表します。
f(1)=1から
a+b+c+d=1
f(-1)=-1から
-a+b-c+d=-1
∫(-1.1)=1から、一応
∫(-t,t)偶関数dx=2∫(0,t)偶関数dxと
∫(-t,t)奇関数dx=0
を使って
2b/3+2d=1

また
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
I=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dx
この最小値を考えるわけですね。


toudai2011bu4.jpg

と言うことでまず条件を全部書き下してみました。

3次関数ってことはa≠0の条件があるのは忘れないでください。

2次関数ax^2+bx+cと言われるとa≠0
関数ax^2+bx+cと言われるとa=0の場合もあり

だから○次関数とかに反応するように基本的例題を繰り返して癖をつけてくださいね、


a≠0の条件があると言うことは、aは消去するとややこしいねん。
aを残した方がやりやすいと個人的には思います。


だから
a+b+c+d=1…①
-a+b-c+d=-1…②
2b/3+2d=1…③

の三つの式を使ってb,c,dをaであらわして
I=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dx
に代入したら一つのパラメーターであらわせそうやな。


①と②は特殊な形をしてるので和と差を求めると簡単です。

(①+②)/2
b+d=0
(①-②)/2
a+c=1

和と差をとればこれは同値なので、これで①と②は使いきりました。

(①+②=③,①-②=④とすると①=(③+④)/2,②=(③-④)/2だから
①かつ②が成立⇔③かつ④が成立)

これでb+d=0と③からb,dが求まります。

b=-3/4,d=3/4

だから

b=-3/4,c=1-a,d=3/4

これで全部aであらわせた感じやからIに代入して計算ですよね?

ですです。

toudai2011bu5.jpg

I=∫(-1,1/2)(6ax-3/2)^2dx

塊で積分してもいいですが、たぶんあんまり意味ないので普通に展開して積分しました。
=∫(-1,1/2)(36a^2x^2-18ax+9/4)dx

=[12a^2x^3-9ax^2+9/4](-1,1/2)

=27a^2/2+27a/4+27/8

=27/2(a+1/4)^2+81/32

よってa=-1/4でc=5/4つまり
f(x)=-1/4x^3-3/4x^2+5/4x+3/4のとき
Iは最小値81/32をとる。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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