受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学1Aの第一問、数と式、集合と論理の問題の解説
今年もセンター試験の時代がやってきたと言うことです。

それでは2012年度センター試験数学1Aの第1問の解説です。


[問題]
[1]
(1)不等式|2x+1|≦3の解は[アイ]≦x≦[ウ]

以下,aを自然数とする。

(2)不等式
|2x+1|≦a…①
の解は
(-[エ]-a)/[オ]≦x≦(-[エ]+a)/[オ]
である。

(3)不等式①を満たす整数xの個数をNとする。a=2のとき,N=[カ]である。また,aが4,5,6,…と増加するとき,Nが初めて[カ]より大きくなるのは,a=[キ]のときである。

[2]kを定数とする。自然数m.nに関する条件p.q.rを次のように定める。

p:m>kまたはn>k
q:mn>k^2
r:mn>k

(1)次の[ク]に当てはまるのを,下の(0)~(3)のうちから一つ選べ。
pの否定p~は[ク]である。

(0)m>kまたはn>k
(1)m>kかつn>k
(2)m≦kかつn≦k
(3)m≦kまたはn≦k

(2)次の[ケ]~[サ]に当てはまるものを,下の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

(i)k=1とする。
pはqであるための[ケ]。

(ii)k=2とする。
pはrであるための[コ]。
pはqであるための[サ]。

(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが,十分条件でない
(2)十分条件であるが,必要条件でない
(3)必要条件でも十分条件でもない


[解答と解説]
[1](1)
これは絶対値の問題ですね。

|f(x)|≦A⇔-A≦f(x)≦A
|f(x)|≧A⇔f(x)≦-A,A≦f(x)

で外してパっと答えてまいましょう。

|2x+1|≦3⇔-3≦2x+1≦3
⇔-4≦2x≦2
⇔-2≦x≦1


まあAが定数じゃなくても
|f(x)|≦g(x)⇔-g(x)≦f(x)≦g(x)
|f(x)|≧g(x)⇔f(x)≦-g(x),g(x)≦f(x)
は成り立つねんけどな。

と話をややこしくしたとこで(2)にいこか。

(2)これも機械的にやって
|2x+1|≦a⇔-a≦2x+1≦a
⇔-a-1≦2x≦a-1
⇔(-a-1)/2≦x≦(a-1)/2

(3)a=3の時ってことやから
(-a-1)/2≦x≦(a-1)/2
の方に代入して

-2≦x≦1

これで整数の個数は書き出すのがセンター試験的なやり方ですね。

x=-2,-1,0,1
の4つです。

aが4,5,6,…って増加するときにNが初めて4より大きくなるか。

まあNにとって初めての相手は忘れられないもんらしいからな。


そういう大切な初めてやねんから、強引に一気にやるんじゃなくて一つ一つ優しく入れてあげるねん。

a=4やったら

(-a-1)/2≦x≦(a-1)/2
の方に優しく代入して

-5/2≦x≦3/2
これはまだ
x=-2,-1,0,1
の四つやな。


a=5やったら優しく代入したら

-3≦x≦2
ってこれ以上はもう無理って感じでx=-3と2が新たに増えてまうねん。

だから5です。


[2]
(1)pの否定は「<」とかは「≧」にして、「または」は「かつ」にするねん。

そらパンツまたはトランクス持ってきてくれ言うて、縄跳びかつバルサミコ酢持ってきたらしばいたろか思うもんな。

と言うことで
m≦kかつn≦k
です。

(2)
(i)k=1とすると
p:m>1またはn>1
q:mn>1

pはqであるための?
って聞かれたら

p⇒q

q⇒p
を調べるねん。

p⇒qは
m>1またはn>1やったらmn>1かどうかやな。


これはちょっとわかりにくいな。
そこで前の問題でpの否定p~を何故か考えさせられましたよね。

だいたい前の問題がヒントやねん。

と言うことは対偶を考えればp~が出て来るわけや。

対偶を考えてみるってよくセンターであるしな。


q~⇒p~
mn≦1ならば、m≦1かつn≦1

これは1以下の自然数って1しかないから
mn≦1ならm=1かつn=1ですね。

m≦1もm=1,n≦1⇔n=1

と言うことは、そもそも
q~⇔p~

やから必要十分ってわかってまいました。


(ii)k=2とするか。
これも入れてみます。


p:m>2またはn>2
q:mn>4
r:mn>2

p⇒rはこれも対偶をとって

mn≦2⇒m≦2かつn≦2

mn≦2やったらmもnも2以下なのは当たり前やな。


r⇒pはこれも対偶をとって

m≦2かつn≦2⇒mn≦2

m=2,n=2やったらこれはmn=4になってだめですね。

と言うことで


pはrであるための

はpが主語やから、主語がどっちにあるかを注意すると
p⇒r
と矢印の根元にあるから十分条件で必要条件ではないです。



p⇒qはこれも対偶をとって

mn≦4⇒m≦2かつn≦2

mn≦4やったらm=1,n=4であかんな。


q⇒pはこれも対偶をとって

m≦2かつn≦2⇒mn≦4

これは当たり前やな。

と言うことで


pが主語やから、主語がどっちにあるかを注意すると
q⇒p
と矢印の先にあるから必要条件で、十分条件ではないです。


必要十分の解き方についてはセンター試験数学1A、2011年度の第1問…数と式、集合と論理の問題の解説にまとめてるから参考にしてください


センター試験の過去問の解説




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