受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学1Aの第2問、二次関数の問題の解説
片方の靴が脱げたときに、あなたなら少々どうしますか?

また意味わからんこと言いだしたとこで、センター試験2012年度第二問の解説します


[問題]
a,bを定数として2次関数
y=-x^2+(2a+4)x+b…①
について考える。関数①のグラフGの頂点の座標は
(a+[ア],a^2+[イ]a+b+[ウ])
である。以下,この頂点が直線y=-4x-1上にあるとする。このとき,
b=-a^2-[エ]a-[オカ]
である。

(1)グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
a<[キク]/[ケ]
である。また,Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
-[コ]-√[サ]<a<-[コ]+√[サ]
である。

(2)関数①の0≦x≦4における最小値が-22となるのは
a=[シス]またはa=[セ]
のときである。またa=[セ]のとき,関数①の0≦x≦4における最大値は[ソタチ]である。

一方,a=[シス]のときの①のグラフをx軸方向に[ツ],y軸方向に[テトナ]だけ平行移動すると,a=[セ]のときのグラフに一致する。


[解答と解説]

なるほど、平方完成しろってことのようですね。

y=-(x-(a+2)^2+b+(a+2)^2
=-(x-(a+2))^2+b+a^2+4a+4

と言うことで頂点は
(a+2,a^2+4a+b+4)
と言うことです。


この頂点が直線y=-4x-1上にあるとすると言うことやから頂点を代入して

a^2+4a+b+4=-4(a+2)-1
から
b=-a^2-8a-13

ここまでは大丈夫やとは思います。

(1)グラフGがx軸と異なる2点で交わると言うことは、判別式が0より大きい、うへ~ってやってもいいですが、センター試験の場合誘導で頂点が求めさせられていて、これが0より大きいとか小さいとかで出来たりします。

今のグラフはx^2の係数が負なので頂点が0より大きければええから

a^2+4a+b+4>0
これで解けへんやん!って横のやつに消しゴム投げつけて退場させられるのがセンター試験です。

以下、この頂点が直線y=-4x-1上にあるって書いてあるってあったので
b=-a^2-8a-13
の条件を使います。

これがセンター特有の難しさやな。


だから
a^2+4a-a^2-8a-13+4>0
より
a<-9/4

Gがx軸の正の部分と負の部分で両方交わるは、二次関数の解の配置問題でよくあるやつやな。
これは上に凸やからx=0での値が正やったらええねん。
cen20121a21.jpg
これだけでオッケーな。

b>0

つまりは
-a^2-8a-13>0

a^2+8a+13<0

-4-√3<a<-4+√3

(2)関数①の0≦x≦4における最小値が-22となるのは

っていきなり言われても、トイレットペーパー与えられずにトイレの中に入れられた子って感じやな。

もっとわかりやすい例えあるやろ!


これは誘導なしにいきなり場合わけしろってことやな。

上に凸の最小値の問題やから、軸が定義域の中点より右か左かで場合分けです。
cen20121a22.jpg
中点は(0+4)/2=2やから

(i)軸≦中点、(a+2)≦2つまりはa≦0の時は、

x=4で最小で
-16+8a+16-a^2-8a-13=-22
より
a=±3
a≦0よりa=-3

(i)軸≧中点、(a+2)≧2つまりはa≧0の時は、

x=0で最小で
-a^2-8a-13=-22
より
a^2+8a-9=0
(a+9)(a-1)=0
a=-9,1
a≧0よりa=1


a=1の時の最大値は軸がa+2=3でこれは定義域の中なので頂点で最大です。

よって頂点はb=-a^2-8a-13を代入しておくと
(a+2,-4a-9)
やからこれにa=1を入れて
-4-9=-13
です。

平行移動はもう頂点だけ考えたらええんちゃうか。

二次関数の平行移動はだいたい頂点だけ考えるもんやからな。


a=-3では
(-1,3)
a=1では
(3,-13)
だから
x軸方向に3-(-1)=4
y軸方向に-13-3=-16
平行移動したらオッケーですね。


センター試験の過去問の解説




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