受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学1Aの第3問、平面図形、三角比の問題の解説
はあ、花火大会をしてたらおじさんにお母さんが心配してるでしょってしばかれたか。


それでは、センター試験2012年度1Aの第3問の解説いきます。

[問題]
△ABCにおいて、AB=AC=3,BC=2であるとき
cos∠ABC=[ア]/[イ],
sin∠ABC=[ウ]√[エ]/[オ]
であり,△ABCの面積は[カ]√[キ],△ABCの内接円Iの半径は
√[ク]/[ケ]である。

また,円Iの中心から点Bまでの距離は√[コ]/[サ]である。

(1)辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを,BP=BQかつPQ=2/3となるようにとる。このとき,△PBQの外接円Oの直径は√[シ]/[ス]であり、円Iと円Oは[セ]。ただし,[セ]には次の(0)~(4)から当てはまるものを一つ選べ。

(0)重なる(一致する)
(1)内接する
(2)外接する
(3)異なる2点で交わる
(4)共有点をもたない


(2)円I上に点Eと点Fを,3点C,E,Fが一直線上にこの順に並び,かつ,CF=√2となるようにとる。このとき
CE=√[ソ]/[タ],EF/CE=[チ]
である。
さらに,円Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき,GM/CG=[ツ]/[テ]である。


[解答と解説]

図が与えられてないのが、ちょっとあれやな。

まず余弦定理とか正弦定理とかじゃなくて直角三角形で簡単にcosとsinをだすって言うのはよくあるねん。
cen20121a31.jpg
AからBCに垂線AHでも引いて

AH=√(3^2-1^2)
=2√2

cos∠ABC=BH/AB
=1/3

sin∠ABC=AH/AB
=(2√2)/3

面積は
1/2×AH×BC=2√2


面積をだしたし△ABCの内接円Iの半径は公式から求めるんやろな。

cen20121a32.jpg
△ABC=r(a+b+c)/2


2√2=r(3+3+2)/2
r=(√2)/2

円Iの中心から点Bまでの距離は、やっぱ内接円の半径を出したからこれを使うと思います。
だいたい前の問がヒントやねん。

cen20121a33.jpg
だから直角三角形BIHに注目して

三平方の定理から

√((√2/2)^2+1^2)=(√6)/2


(1)外接円の直径と言うからには正弦定理って言うのはセンター試験でほぼ毎回出されるネタです。

だから、正弦定理なんちゃうかなって思って考えるねん。
cen20121a34.jpg
しかもsin∠ABCを求めさせられてるわけやな。
と言うことはsin∠PBQも同じ角のとこなので(2√2)/3とわかってると言うことです。

PQ/sin∠PBQ=2R
より
R=(√2)/4

だから直径は(√2)/2

円Iと円Oの関係がきましたね。

これは計算でやると、たぶん青汁飲んでまずいって言うてるおっさんに
わしを受け止めてくれ
ってパンツの中に吐かれることになると思うねん。

そういうことにならないためには2円の関係を使うねん。

半径r1とr2の円があって、中心間の距離がdとすると

和と差だけ考えたらいけます。

cen20121a35.jpg
r1+r2=d
の時は外接

|r1-r2|=d
の時は内接

後はこの二つから考えたらでます。

r1+r2<dは交わらない

|r1-r2|<d<r1+r2は2点で交わる

d<|r1-r2|は中に入って交わらない。


今の問題では半径は(√2)/4と(√2)/2とわかってるので、中心間の距離のOIが欲しいとこです。

そして今までの問題が誘導になっているものですが、さっきはBIを求めさせれました。

BIは∠ABCの二等分線上にあります。

BOもBP=BQなので二等分線上にあるのは明らかなので、B,O,Iは一直線上にあります。
cen20121a36.jpg

cen20121a37.jpg
じゃあ中心間の距離を考えなくても


(円Oの直径)+(円Iの半径)

BI

との大小関係を見れば関係がわかります。


まあ
中心間の距離=BI-(円Oの半径)
なので出してもええねんけどな。


と言うことで

((円Oの直径)+(円Iの半径))-BI

=((√2)/2+(√2)/2)-(√6)/2
=(2√2-√6)/2=(√8-√6)/2>0

よって異なる2点で交わります。



(2)えっと円I上に点Eと点Fを、3点C,E,Fが一直線上に並び、かつ…

さらに円Eと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点を…

cen20121a38.jpg
ってやってると


cen20121a39.jpg
どるえ~!!!

ってなります。


なんかよくなると思います。

こういうことにならないように、とりあえず一回新しく関係あるやつだけ書きましょう。
前のは関係あるかもしれんけど、そんなん言いだしたら何もできへんからな。


こういう処理を覚えてくれ。

cen20121a310.jpg
するとこれはCE,CFってきたら方ベキの定理の形やな。

センターでは方ベキがかなり出るから、疑ってみるのがコツやねん。
過去問やりまくって覚えたらいけるわ。

CE・CF=CD^2
だから
√2・CE=1

CE=(√2)/2

EF/CEは何でこんな問題あるんやろな。
EF=CF-CEで普通に計算できるやろ。

EF/CE=(√2-(√2)/2)/((√2)/2)
=1

それでGM/CGか。

こ、これはどうしたらええんや。


次の問題に進めて後から考えるのが一番ええと思います。

cen20121a311.jpg

まあさっき言ったように、こうやって図を書けば一瞬でわかるにはわかるねんけどな。
わからなくても見た目でわかるけどな。


これはな、やっぱセンターは前の問題が誘導やねん。

EF/CE=1

の謎の式を使うと思うねん。

それで点Gやろ。

なんで点Gなん?

しかもなんで点Mなん?

これアルファベット順じゃないやん。

Mは普通中点で使うな。

Gは重心で使うな。

EF/CE=1か。


と言うことは重心ですやん。

GM/CG=1/2

ADはBCの中点Dを通り、EF=CEよりEはCFの中点やからな。



まあ、さすがにアルファベットで考えるのは無理あるやろうけどな。

いざと言うときは、チェバの定理とメネラウスの定理で強引に求められるから大丈夫!

CE/EF・FM/BM・BD/DC=1
からFM/BM=1


CE/EF・FB/BM・GM/GC=1
からFB/BM=2より
GM/CG=1/2
とかな。


センター試験の過去問の解説




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