受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学1Aの第4問、確率の問題の解説
今日はお母さんにヨーヨー買ってもらった子の話をします。


センター試験2012年度数学1Aの第4問の解説です。


[問題]
1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。
このようなカードの取り出し方は[アイウ]通りである。

(1)取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方は[エオ]通りであり,5と書かれたカードがない取り出し方は[カキ]通りである。

(2)次のように得点を定める。

●取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は,得点を0点とする。

●取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードbがある場合,
この5枚を書かれている数の小さい順に並べ,5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき,得点をk点とする。

得点が0点となる確率は[ク]/[ケ]である。得点が1点となる確率は[コ]/[サシス]で,得点が2点となる確率は[セ]/[ソタ],得点が3点となる確率は[チ]/[ツ]である、

また,得点の期待値は[テ]/[ト]点である。


[解答と解説]
9枚のカ-ドから5枚を同時に取り出すってことは、順番とか関係なくて組み合わせやな。
だから
9C5=126通りである。

(1)5と書かれたカードがあるのは
5○○○○
やから残りの8つの数字から4つ選べええわけやな。

8C4=70通り

5と書かれたのがないのは
○○○○○
に残りの8つの数字から5つ選べええから

8C5=56通り

(2)
得点が0点はないときやから、さっきの56通りやな。

56/126=4/9

得点が1点となるのは1番目に5やから
5○○○○
で○には6,7,8,9の四つが入るから1通り
1/126

得点が2点となるのは
△5○○○
で△には1,2,3,4から1つ
○には6,7,8,9から3つで
4C1・4C3=16

16/126=8/63

得点が3点となる確率は
△△5○○

△には1,2,3,4から2つ
○には6,7,8,9から2つで

4C2・4C2=36

36/126=2/7

得点が4点となる確率は
△△△5○

△には1,2,3,4から3つ
○には6,7,8,9から1つで

4C3・4C1=16
16/126=8/63

得点が5点となる確率は
△△△△5
で△には1,2,3,4が入って1通りやから
1/126

よって求める期待値は

1,2,3,4が一つ入るごとに+1点でこれを5以外の8枚では1枚当たり平均+1/2点やから

4枚とると
1/2×4=2点

5の1点で1+2=3

5が入る確率は70/126=5/9

よって3×5/9=5/3


そう解いたら、今までのが意味ないやろ!


まあセンターは勘で期待値だけわかるとこあるからな。

と言うことで計算すると

1/126×1+8/63×2+2/7×3+8/63×4+1/126×5=5/3です。



これは一応カードの組み合わせ一つの確率が1/126と言うように同様に確からしくて、それが何個かって数えることで確率を求めてるところですね。


センター試験の過去問の解説




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