受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学2Bの第1問の対数と三角関数の問題の解説
ネクタイで全身しばられたいって感じですね。

センター試験2012年度数学2B第2問の解説です。

[問題]
第1問
[1]a>0,a≠1として,不等式
2log_a(8-x)>log_a(x-2)…①
を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから,[ア]<x<[イ]が成り立つ。ただし,対数log_a(b)に対し,aを底といい,bを真数という。
底aがa<1を満たすとき,不等式①は
x^2-[ウエ]x+[オカ][キ]0…②
となる。ただし,[キ]については,当てはまるものを,次の(0)~(2)のうちから一つ選べ。
(0) < (1) = (2) >

したがって,真数が正であることと②から,a<1のとき,不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は[ク]<x<[ケ]である。
同様にして,a>1のときには,不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は[コ]<x<[サ]であることがわかる。

[2]0≦α≦πとして
sinα=cos2β
を満たすβについて考えよう。ただし,0≦β≦πとする。
たとえば,α=π/6のとき,βのとり得る値はπ/[シ]と[ス]π/[シ]の二つである。
このように,αの各値に対して,βのとり得る値は二つある。そのうちの小さい方をβ_1,大きい方をβ_2とし
y=sin(α+β_1/2+β_2/3)
が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。

β_1,β_2をαを用いて表すと,0≦α<π/2のときは
β_1=π/[セ]-α/[ソ],β_2=[タ]π/[セ]+α/[ソ]
となり,π/2≦α≦πのときは
β_1=-π/[チ]+α/[ツ],β_2=[テ]π/[チ]-α/[ツ]
となる。

したがって,α+β_1/2+β_2/3のとり得る値の範囲は
[ト]π/[ナ]≦α+β_1/2+β_2/3≦[ニヌ]π/[ネ]

である。よって,yが最大となるαの値は[ノ]π/[ハヒ]であり,そのときのyの値は[フ]であることがわかる。[フ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)1/2
(1)1
(2)(√2)/2
(3)(√3)/2

[解答と解説]

[1]これは結構普通の問題って感じですね。
でもそこがあれやな。

まあやっていこか。
そんなん言いながら別に何もないんやろうけどな。

真数条件からlogの中がとにかく正やな。
8-x>0
x-2>0
これを解いて
2<x<8

さすがにセンターやからミスらんと思うけど
2log_a(8-x)をlog_a(8-x)^2にしてしまったら、(8-x)^2>0はx≠8でよくて定義域がかわってしまうから注意な。

生まれたままの姿が大切やねん。
誰かにツバをつけられてたら、ちょっと切ないけど、そこ受け入れてやるのが男の包容力って言うんかな。

ええからはよ解説せいや!

2log_a(8-x)>log_a(x-2)
これはlogの中に入れてまうねん。

log_a(8-x)^2>log_a(x-2)

それでa<1ではy=log_a(x)は減少関数やから、大小関係は逆になります。

(8-x)^2<(x-2)
これを整理して
x^2-17x+66<0

それで解答欄の形からきっと因数分解が出来るやろうから
(x-11)(x-6)<0
解いて
6<x<11

真数条件から2<x<8でこれとあわせて
6<x<8

a>1のときはy=log_a(x)は増加関数で、大小関係はそのままで
(8-x)^2>(x-2)
これを解くと
(x-11)(x-6)>0
になるやろうから
x<6,11<x
ですね。

だから真数条件とあわせて
2<x<6


[2]
sinα=cos2β

これは定石としては
sinα=sin(π/2-2β)
ってsinかcosに揃えて中身を比べて
α=π/2-2β+2nπ,
π-(π/2-2β)+2nπ
ってやってまうか

和積で
sinα-sin(π/2-2β)=0
2cos({α+(π/2-2β)}/2)sin({α-(π/2-2β)}/2)=0

cos({α+(π/2-2β)}/2)=0
または
sin({α-(π/2-2β)}/2)=0
でやってまうかやな。

でも範囲を評価しないといけなくて、まあまあしんどいねん。

それにセンターやとこんなにがっちり公式と言う感じではないしな。



だからもう誘導にのってやっていきましょう。

cen20122b11.jpg
α=π/6のときやから
sinπ/6=1/2
より
cos2β=1/2となるのは
0≦2β≦2πより2βは一周するねん。

2β=π/3,5π/3
つまり
β=π/6,5π/6

と言うようにαの各値に対して2βは単位円の上と下で得る値は二つって感じやな。

こんな感じでやっていけばええってことやねん。


同じように今度は一般的にαでやると

cen20122b12.jpg
0≦α<π/2のときは
sinαの値はx軸上では図形的にπ/2-αのところと、3π/2+αのとこで

2β_1=π/2-α
2β_2=3π/2+α

より
β_1=π/4-α/2
β_2=3π/4+α/2

センター試験は公式でがっちり計算じゃなくて、こうやって図で簡単にやっていくって言う感じやねん。



cen20122b13.jpg
π/2≦α≦πのときは
sinαの値はx軸上では図形的にα-π/2のところと、2π-(α-π/2)=5π/2-αのとこで

2β_1=-π/2+α
2β_2=5π/2-α

より
β_1=-π/4+α/2
β_2=5π/4-α/2

と言うことは
α+β_1/2+β_2/3のとりえる値の範囲は
0≦α<π/2のとき
α+(π/4-α/2)/2+(3π/4+α/2)/3=
11α/12+3π/8

これでαの増加関数やから最小値はα=0で3π/8


π/2≦α≦π
α+(-π/4+α/2)/2+(5π/4-α/2)/3=
13α/12+7π/24

これでαの増加関数やから最大値はα=πで11π/8

つまり
3π/8≦α+β_1/2+β_2/3≦11π/8

cen20122b14.jpg

y=sin(α+β_1/2+β_2/3)が最大になるのは、α+β_1/2+β_2/3はπ/2を通るから
たぶんそれはπ/8に近いから0≦α<π/2のときで

11α/12+3π/8=π/2つまりα=3π/22で

最大値は1ですね。

センター試験の過去問の解説




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