受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学2Bの第3問の数列の問題の解説
センター試験はライブトリガーみたいなもんやからな。

センター試験2012年度数学2B第三問の解説です。

[問題]
{a_n}をa_2=-7/3,a_5=-25/3である等差数列とし,自然数nに対して,S_n=Σ(k=1~n)a_kとおく。
a_1=[アイ]/[ウ]であり,{a_n}の公差は[エオ]である。したがって

a_n=[カキ]n+[ク]/[ケ] (n=1,2,3,…)
S_n=[コ]n^2+[サ]n/[シ] (n=1,2,3,…)
である。

次に,数列{b_n}は
Σ(k=1~n)b_k=4b_n/3+S_n (n=1,2,3,…)…①
を満たすとする。数列{b_n}の一般項を求めよう。①から,b_1=[ス]である。さらに,Σ(k=1~n+1)=Σ(k=1~n)b_k+b_(n+1)に注意して,①を利用すると
b_(n+1)=[セ]b_n+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)
が成り立ち、この等式は
b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=[セ](b_n+[チ]n+[ツ]) (n=1,2,3,…)
と変形できる。ここで
c_n=b_n+[チ]n+[ツ] (n=1,2,3,…)…②
とおくと,{c_n}は,c_1=[テ],公比が[ト]の等比数列であるから,②により
b_n=[ナ]^[ニ]-[ヌ]n-[ネ] (n=1,2,3,…)
である。ただし,[ニ]については,当てはまるものを,次の(0)~(4)のうちから一つ選べ。

(0)n-2 (1)n-1 (2)n (3)n+1 (4)n+2

[解答と解説]
公差dとすると
a_2=-7/3からa_1+d=-7/3
a_5=-25/3からa_1+4d=-25/3

a_1消去が簡単そうやから辺々引いて

3d=-18/3
d=-2

だから
a_1-2=-7/3から
a_1=-1/3
よって

a_n=-1/3+(n-1)(-2)
=-2n+5/3

ここまでどっか気持ち悪いとこはありましたか?

大丈夫ですね。

等差数列の和はΣよりも
1/2×(初+末)×項数
でぱっとやってください。

これは台形の面積と同じで
1/2×(上+下)×高さ


(初+末)/2が平均の値で、それが何個あるかって言う意味の式です。

S_n=1/2×(-1/3+(-2n+5/3))n
=-n^2+2/3n


次は
Σ(k=1~n)b_k=4/3・b_n+S_n
で{b_n}を求めます。

こうやって和が入った漸化式は
a_1=S_n
a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2)
で処理しますよね。


だからな、こういうわけですわ。

誘導されてるわけですわ。

b_1の値はn=1の値を入れて

b_1=4/3・b_1+a_1
より
b_1=-3×a_1
=1


それでさらに誘導で
b_(n+1)=Σ(k=1~n+1)b_k-Σ(k=1~n)b_k
={4/3・b_(n+1)+S_(n+1)}-{4/3・b_n+S_n}
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+(S_(n+1)-S_n)
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+a_(n+1)
=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3

つまり
b_(n+1)=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3
左辺にb_(n+1)持ってきて

b_(n+1)/3=4/3・b_n+2n+1/3
より
b_(n+1)=4b_n+6n+1


それで誘導なしに
b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=[セ](b_n+[チ]n+[ツ])
の形にもっていけって書いてるねんけど、

b_nを見ると係数が4やから[セ]は4のはずやし

b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=4(b_n+[チ]n+[ツ])



b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]
=4b_n+4[チ]n+4[ツ]

b_(n+1)=4b_n+3[チ]n+3[ツ]-[チ]

これが
b_(n+1)=4b_n+6n+1
のはずやから

3[チ]=6
3[ツ]-[チ]=1

つまり[チ]=2
[ツ]=1

です。



本当はこれは特性方程式でやるねんけどな。

例えば
a_(n+1)=2a_n+1
を解け言われたら、階差数列をとる意外にも
α=2α+1
ってやってα=-1やから

a_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))

って言う解法があるやんな。
これは

α=2α+1と言う等式が成り立つすると
a_(n+1)=2a_n+1
α=2α+1
を辺々引いて

a_(n+1)-α=2(a_n-α)

って出来るけど、そういうαが本当にあるのかと言うと
α=2α+1
をただ単にといたらよくて、α=-1やったわけやな。

だから

a_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))

なわけや。


でも今回は
b_(n+1)=4b_n+6n+1
と言うようにnが入ってるから

α=4α+6n+1
となるαはnによって変わるから困るねん。

そこで
b_nのことをαn+βと置き換えて

α(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1

と言う式が全てのnで成立すれば
b_(n+1)=4b_n+6n+1
と辺々差をとって

b_(n+1)-α(n+1)-β=4(b_n-αn-β)

って出来るわけやな。


そういうα,βがあるのかと言うと
α(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1
がnの恒等式として成立すればええわけやから係数比較して
nの係数は左辺が4,右辺が4α+6やから
α=4α+6
定数部分は同じように
α+β=4β+1

これを解いて
α=-2
β=-1

やから
b_(n+1)+2(n+1)+1=4(b_n+2n+1)

となるわけですね。


これいは誘導に乗ればええけど、定石としても覚えておいて欲しいとこやな。

言うても、根本的な数学力があるからこそセンター形式に慣れることが出来るからな。

だからc_n=b_n+2n+1とおけば

c_(n+1)=4c_n
で{c_n}は
c_1=b_1+2+1=4
公比は4の等比数列


c_n=4^nで

4^n=b_n+2n+1
だから
b_n=4^n-2n-1




センター試験の過去問の解説

さて、一通り解説しましたどっか気持ち悪いとこはなかったでしょうか?



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