受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2012年度数学2Bの第4問、ベクトルの問題の解説
さあて、滑り台で滑ってきたとこを浣腸する会に参加しよか。


センター試験2012年度数学2Bの第4問の解説です


[問題]
空間に異なる4点O,A,B,Cを,OA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→となるようにとり,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。さらに,3点D,E,Fを,OD→=a→+b→,OE→=b→+c→,OF→=a→+c→となるようにとり,線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし,線分ADを3:1に内分する点をNとする。

(1)OM→,ON→は,a→,b→,c→を用いて
OM→=(1/[ア])b→+c→,ON→=a→+([イ]/[ウ])b→
と表される。

(2)2直線FL.MNが交わることを確かめよう。0<s<1とし,線分FLをs:(1-s)に内分する点をPとする。OP→は,sとa→,b→,c→を用いて
OP→=([エ]-s/[オ])a→+sb→+([カ]-s)c→
と表される。s=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→となるので,M,N,Pは一直線上にある。よって,2直線FL.MNは交わることがわかる。


(3)2直線FL,MNの交点をGとする。OG→,GF→は,a→,b→,c→を用いて
OG→=([サ]/[シ])([ス]a→+[セ]b→+c→)
GF→=([サ]/[シ])(a→-[セ]b→+[ソ]c→)
と表される。
|a→|=√5,|b→|=4,|c→|=√3とする。このとき,|GF→|=[タ],|GM→|=2となる。
次に,直線OC上に点Hをとり,実数tを用いて,OH→=tc→と表す。
GF→・GH→,GM→・GH→は,tを用いて

GF→・GH→=[チ]t+[ツテ]/[ト]…①
GM→・GH→=2t+10/3…②
と表される。
さらに,∠FGH=∠MGHとする。このときのtの値を求めよう。

|GF→|=[タ],|GM→|=2と∠FGH=∠MGHであることから
GF→・GH→=([ナ]/[ニ])GM→・GH→…③

が成り立つ。①,②,③から,t=[ヌ]/[ネ]である。


[解答と解説]
これはOA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→だから、これは全て直交しています。
cen20122b41.jpg
だからOA→がx軸,OB→がy軸,OC→がz軸と言うように直交座標のように扱えます。


そもそも図形を扱うときに、座標が直交していたり、メモリの長さが1である必要はなく
問題にあわせて
a→が何個、b→が何個
と基本ベクトルを上手く選んで計算した方が便利と言うのがベクトルの一つのメリットやからな。

何もなかったら、直交してるベクトルを基本ベクトルにするの普通なわけやな。

それが普段使ってる座標でもあるねん。
ベクトルは座標を一般化させてると言う側面があるねん。


だから図を書くとこんな感じで直方体です。

点MはCEの中点だから
OM→=(OC→+OE→)/2
=(b→+b→+c→)/2
=b→/2+c→

点NはADを3:1に内分だから

ON→=(OA→+3OD→)/(3+1)
=(a→+3a→+3b→)/4
=a→+(3/4)b→

(2)PはFLをs:1-sに内分する点と書いてて


OF→=a→+c→
LはBDの中点だから
OL→=(OB→+OD→)/2
=(b→+a→+b→)/2
=b→+a→/2

ここで
OP→=(1-s)OF→+sOL→
=(1-s)a→+(1-s)c→+sb→+(s/2)a→
=(1-s/2)a→+sb→+(1-s)c→


問題文にはこれでいきなり
s=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→
と書いてるやん。

普通はMN上にある点をQとすると
OQ→=kOM→+(1-k)ON→
ってやってP=Qとすると係数比較してk,sが求まって、
だから実際に交わってる点が求まったから交わるとかやるやん。


でもいきなり書いてるから、たぶんすぐにわかるねん。
cen20122b42.jpg
と言うことで図より

a→とc→の平面から見て正射影すると

cen20122b43.jpg

△MPF∽LPNで相似比はMF:LN=2:1だから
s=2/(1+2)=2/3

MP→=2/(1+2)MN→
=(2/3)MN→

交わるとしたら、これしかないからな。
必要条件を求めただけやから証明ではないけどな。


相似に持っていったり、二次元で必要条件で考えてしまえばいいって言う処理を覚えてくれたらええねんけど、普通に計算しまくってももちろんオッケーです。



(3)
FL,MNの交点Gと言うのはさっき求めたPのことやから
OP→=(1-s/2)a→+sb→+(1-s)c→
にs=2/3を代入して
OG→=(2/3)a→+(2/3)b→+(1/3)c→
=1/3・(2a→+2b→+c→)

GF→=OF→-OG→
=a→+c→-1/3・(2a→+2b→+c→)
=1/3・(a→-2b→+2c→)

これで全部直交してるから、内積や長さの計算はほぼ三平方の定理なわけやな。

a→同士と、b→同士と、c→同士をかけるだけで

|GF→|=1/3・√(√5^2+2^2・4^2+2^2・√3^2)
=3

OH→=tc→と書いてるから
GH→=OH→-OG→
=tc→-1/3・(2a→+2b→+c→)
=1/3・(-2a→-2b→+(3t-1)c→)

GF→・GH→
全部直交してるからa→同士と、b→同士と、c→同士をかけるだけで

GF→・GH→=1/9・(-2・√5^2+4・4^2+(6t-2)・√3^2)
=2t+16/3


もう問題文に計算してくれてるやつは気にせず使うだけです。
なんかようわからんままにやるねん。
意味とか考えたら負けやねん。

こんなん、自分も計算してたら、試験終わった後にちょうちん振り回して電車の中に突っ込んでいくことになります。


|GF→|=3,|GM→|=2で∠FGH=∠MHG=θとでもおいて

GF→・GH→=3|GH→|cosθ
GM→・GH→=2|GH→|cosθ

やから
2GF→・GH→=3GM→・GH→

GF→・GH→=(3/2)GM→・GH→

これから
2t+16/3=(3/2)(2t+10/3)
になるからこれを解いて
t=1/3です


センター試験の過去問の解説




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