受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度理系第一問、円と直線の線分の長さの問題
今年は弥生時代の始まるみたいな年ですね。


それでは東京大学2012年度理系第一問の解説をします。

[問題]
toudai2012ri11.jpg

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
x^2+(y-1)^2≦1,x≧(√2)/3

直線lは原点を通り,Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また,Lが最大値をとるとき,x軸とlのなす角θ(0<θ<π/2)の余弦cosθを求めよ。


[解答と解説]

えっと

x=(√3)/2

やし、交点は簡単にわかるな。

よっしゃ、後は長さ出して微分するだけなんちゃうん!

ってぶーわー計算して

f'(θ)=(4(cosθ)^3-√3sinθ)/2(cosθ)^2

あれ、因数分解できへんぞって計算しまくって、

また消して

また計算して

また消して

びり!

って解答用紙がやぶれて


toudai2012ri12.jpg

チーン

ってなります



よう見てください、(√3)/2じゃなくて(√2)/3です。

こんなんで1問目から焦って数学ミスって来年もよろしくとか言うてたら、ちょっとあれですよね。


意外とこういう単純なミスが明暗を分ける問題になってるねん。

解法が普通で処理がややこしいと言う東大によくあるタイプやし、東大狙えるほどに勉強してる人が解けないってことはないと思います。


それではやっていこか。

toudai2012ri13.jpg

円と直線の問題やから似たような問題として、いつもの弦の長さを求めるときの感じで解くんじゃないかと思われます。

y=mx+nと(x-a)^2+(y-b)^2=r^2でy消去してxの解をα,β(α<β)やったら、yの座標を出して座標に三平方を使うんじゃなくて

直線の傾きはmやから
x方向に1進めば、
y方向にm進み、
斜辺の直線としては√(m^2+1)進む

だから比を考えるとx方向の長さに√(1+m^2)をかければいいことがわかるから
(β-α)√(1+m^2)
って感じでやるんちゃうかなって感じやな。


まあ図形的にもっと処理できるやろうけど、そんなん考える前に早く正確に立ててしまった方がええやろな。


toudai2012ri14.jpg

lは傾きtanθやから
y=(tanθ)x
これと円x^2+(y-1)^2=1との交点は
y消去でもして

x((1+(tanθ)^2)x-2tanθ)=0
x=0,2tanθ/(1+(tanθ)^2)

これで直線と円との交点の原点でない方Pのx座標は
x=2tanθ/(1+(tanθ)^2)

これでx座標方向の長さは

2tanθ/(1+(tanθ)^2)-(√2)/3
やから

L=(2tanθ/(1+(tanθ)^2)-(√2)/3)√(1+(tanθ)^2)

と表せます

1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
を使って整理していくと

L=2sinθ-(√2)/3cosθ
です。


後はθで微分したらええねんけど、θはlがDを通る範囲で考えないといけません。

しかしDの外ってことは円と直線との交点のx座標がx=(√2)/3より小さくなってしまうから、負になる時がDの外側とも解釈できます。


そこでLの最大値が欲しいわけやから、負が最大値になるわけがなく
f(θ)=2sinθ-(√2)/3cosθ
とおいて0<θ<π/2で最大値を考えてしまったらええねん。

toudai2012ri15.jpg

と言うことで微分すると

f'(θ)=2cosθ-(√2)sinθ/(3(cosθ)^2)
=(6(cosθ)^3-(√2)sinθ/(3(cosθ)^2)

よくわからん関数になったけど、正負さえわかればええねん。

だから分母は2乗で正やから関係なくて

6(cosθ)^3-(√2)sinθ

を考えればええねん。

だから

g(θ)=6(cosθ)^3-(√2)sinθ

とおきます。
これでもう一回微分してもええねんけど、これは減少関数です。

何故かと言うと0<θ<π/2においては

θを増やせば、cosθは減る,sinθは増えるやんな。

だから、6(cosθ)^3は減って、-(√2)sinθも減るから

g(θ)=6(cosθ)^3-(√2)sinθは減るねん。


減少関数とわかれば後は
g(0)=6>0
g(π/2)=-√2<0
だからg(θ)=0となるθ一つあるはずです。


toudai2012ri16.jpg

6(cosθ)^3-(√2)sinθ=0

6(cosθ)^3=(√2)sinθ

両辺2乗してcosだけにするとかもありやけど、
cosθ^2は1+(tanθ^2=1/(cosθ)^2

より(cosθ)^2はtanθに変換できるから、tanθの式にできそうです。

cosθ=0はsinθ=±1なのでさすがに満たさないから、cosθ≠0で両辺われます

6(cosθ)^2=(√2)tanθ

これで1+(tanθ^2=1/(cosθ)^2を使って、整理すると

√2(tanθ)^3+√2tanθ-6=0

これは係数が有理数ではないので

有理数の解=定数の約数/最高次の係数の約数

は使えません。


でもたぶん簡単なのが見つかるはずやねん。

これはもう定数は6って有理数やから√2を消せるようにtanθ=√2ぐらいしか候補がないとオレは思うねんけどな。

(tanθ-√2)(√2(tanθ)^2+2tanθ+3√2)=0

√2(tanθ)^2+2tanθ+3√2=0はtanθの二次方程式として実数解を持たないので

tanθ=√2
です。


toudai2012ri17.jpg

f'(θ)の符号はg(θ)の符号と一致するわけやから

tanα=√2とすると
g(0)=6>0
g(π/2)=-√2<0

なのでθ<αで増加,α<θで減少です。

よってθ=αで最大になります。

この時のcosαの値は

cosα=1/√(1+(tanα)^2)
=1/√3


安心できそうな答えなような感じですね。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/461-2b89f7d7
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析