受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度理系第二問、文系第三問文理共通、確率と漸化式の問題
ミルクが多めの缶珈琲を飲む人をミルキーと呼ぶ話しもあるけど、今日のとこは東京大学2012年度理系第二問、文系第三問の文理共通問題を解説します。


[問題]
toudai2012ri21.jpg

図のように,正三角形を9つの部屋に辺で区切り,部屋P,Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し,1秒ごとに,そのままその部屋にとどまることなく,辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。


[解答と解説]

これはもう漸化式で解くってやつなんちゃうん!

toudai2012ri22.jpg

って上の部屋からn秒後に球がある確率を

s_n,t_n.p_n,u_n…

と置いて

u_n=1/3p_(n-1)+1/3q_(n-1)
s_n=1/3p_n


ってやってると

toudai2012ri23.jpg

そいや!!

って意味わからんことなります。

本当に全然意味わかりません。



と言うことで、漸化式と確率の融合問題はかなりよく出ますが、

どういう感じで処理をすればいいか説明していこうと思います。



toudai2012ri24.jpg

○まとめて考える

これは大きな事象で、nとn+1の関係性を考えみます。

するとQの二つ左隣の部屋をRとすれば

nが偶数の時、P,Q,Rのいずれか
nが奇数の時、P,Q,R以外のいずれか

にあることがわかります。

これで奇数秒ではQにある確率0やから、偶数秒の時を考えたらええことになるねん。


と言うことで

toudai2012ri25.jpg

n=2m(mは自然数のとき)

とここで文字をおきたいとこやけど

○対称性を考えることで文字を減らす

ことを意識します。


PからスタートすればRとQは対称なので、確率は同じです。

と言うことはn=2mのとき

Pにある確率をp_m
Qにある確率をq_m
Rにある確率をq_m

とおけます。

そして、PかQかRのいずれにあるはずやから

p_m+q_m+q_m=1

です。

toudai2012ri26.jpg

次にmとm+1の関係性を図で書いて漸化式を作るわけですが

○全事象を意識して図を描く

ってことをやります。


これは

mの時に

Pにある事象
Rにある事象
Qにある事象

で全部になります。


ここからのm+1でQにいたる経路を全て考えれば抜けることはありません。

PからQに移動するには
確率1/3で右下へ、確率1/2で下への
1/3×1/2=1/6
です。


RからQに移動するには
確率1/3で右へ、確率1/2で右への
1/3×1/2=1/6
です。

QからQに移動すると言うか戻ると言うかそう言う感じのやつは
1/3で上へ、1/2で下へ
または
1/3で左へ、1/2で右へ
または
1/3で右へ、1で左へ

1/3×1/2+1/3×1/2+1/3×1=2/3

よって

q_(m+1)=1/6・p_m+1/2・q_m+2/3・q_m
=1/6・p_m+5/6・q_m

ここでさっきのp_m+q_m+q_m=1があるから、p_m消去したら解けます。

toudai2012ri27.jpg

p_m=1-2q_mでp_m消去して

q_(m+1)=1/6・(1-q_m)+5/6・q_m
=1/2・q_m+1/6

もうこれは東大目指してるならさすがに解けるとは思いますが特性方程式で

α=1/2・α+1/6

解いてα=1/3やから辺々差をとって

q_(m+1)-1/3=1/2(q_m-1/3)

それでこれはq_1を計算していいけど、そもそもmは0以上で

q_(m+1)==1/6・p_m+5/6・q_m
p_m+q_m+q_m=1
も成立するから、m=0ではq_0=0で計算はしやすいです。

ただ、m=1を初項とするとm-1乗なのでm=0を初項とすればm乗なのは注意してください

q_m-1/3=(q_0-1/3)(1/2)^m
q_m=1/3(1-(1/2)^m)

よって求める確率は

nが奇数の時,0
nが偶数の時,1/2(1-(1/2)^(n/2))

になります。


東京大学の入試の数学の過去問の解説




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