受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度理系第三問、回転体の体積の問題の解説
さて、太鼓が鳴り響く日々やってきました。

東京大学2012年度理系第3問の解説です。


[問題]
toudai2012ri31.jpg

座標平面で2つの不等式
y≧x^/2,x^2/4+4y^2≦1/8
によって定まる領域をSとする。
Sをx軸のまわりに回転して出来る立体の体積をV_1とし,y軸のまわりに回転してできる立体の体積をV_2とする。

(1)V_1とV_2の値を求めよ。
(2)V_2/V_1の値と1の大小を判定せよ

[解答と]
(1)
一見ただ単に計算する問題に見えますが、計算するだけの問題です。


これはな、処理の仕方にあるんかもしれんな。

まず交点を求めることからはじめましょう。

toudai2012ri32.jpg

x^2/4+4y^2≦1/8とx軸,y軸の交点はx=0,y=0を代入してください。
x=0でy=±1/(4√2)
y=0でx=±1/√2

y=x^/2とx^2/4+4y^2=1/8はy消去でもすると

x^2/4+4y^2=1/8
となりますが、y≧0に注意してください。

文字を消去するときは存在するように消すって言うのが重要でy=x^2/2なのでy≧0でないとxは存在しません。

それで
(8y-1)(4y+1)=0からy=1/8になります。

まあグラフからもy≧0はあたりまえやけどな。

この時x=±1/2です。


と言うことでx軸について回転させていこか。

toudai2012ri33.jpg

回転体の体積は回転軸からの距離dの最大値と最小値に注意して
π(dmax^2-dmin^2)
を考えます。

これが穴があいた断面積で積分したらよくなります。

もちろん最小値が0なら穴はあいてへんねん。

ちょっと寂しいけどな。


楕円の式からyについて解けば
y=±√(1/32-x^2/16)
やけど上の方は
y=√(1/32-x^2/16)
で、こちらが回転軸からの距離が最大です。

まあ下の方でも一緒やけどな。

それで最小なのはy=x-2/2やから立式すると

toudai2012ri34.jpg

y軸についての対称性から右半分を2倍すればいいから

V_1=2π{∫(0,1/2)√(1/32-x^2/16)^2dx-∫(0,1/2)(x^2/2)^2dx}

=2π{∫(0,1/2)(-x^2/4-x^2/16+1/32)dx}

これを根性で計算します。

分母の掛け算は計算せずに積の形のままの方が計算しやすいかもしれません。

それで

11π/480


toudai2012ri35.jpg

ちなみに

∫(α,β)(x-α)^n(x-β)^mdx=m!n!(-1)^m/(m+n+1)!(β-α)^(m+n+1)

を使うとすると

-x^2/4-x^2/16+1/32=-1/4(x^2-1/4)(x^2+1/2)

で(x^2+1/2)の部分をx^2-1/4+3/4と言うように

x^2-1/4を無理やり作っていけばいけます。


そんなに簡単になってないような気もするけどな。



次にV_2ですね。

toudai2012ri36.jpg

これは

0≦y≦1/8までは回転軸のy軸からの距離がx=√(2y)ですが
1/8≦y≦1/(4√2)まではx=√(1/2-16y^2)

になります。

最小は0ですね。

だから式は

V_2=π(∫(0.1/8)√(2y)^2dy+∫(1/8,1/(4√2))(1/2-16y^2)dy)

これを根性で計算します。

すると

π(1/(12√2)-7/192)


(2)
toudai2012ri37.jpg

東大ではこういう無理数の微妙な大小関係を問うことが多いですが、

この問題については単に

√2=1.41421356…

やから

V_2/V_1=(40√2-35)/22
<(40・1.42-35)/22=21.8/22<1

だけでいけます。


東京大学の入試の数学の過去問の解説




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