受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度文系第一問、二次方程式の問題の解説
久しぶりにふにゅるか

東京大学2012年度の文系第一問の問題です


これはまさに使ってくれと言わんばかりの

東大ではほんま出まくる典型的な処理で

『逆手流』

『逆像法』
など言われてるやつ


オレは

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

と言っています


ながすぎるわ!


関連→同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)


[問題]
toudai2012bu11.jpg

座標平面上の点(x,y)が次の方程式を満たす
2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0
このとき,xのとりうる最大の値を求めよ


[解答と解説]

よっしゃ、これはxをyであらわして微分やな

toudai2012bu12.jpg

xについて解いて

x={(-2y-2)±√(-2y^2-2y+12)}/2

これを微分して

dx/dy=-1±(-4y-2)/4√(-2y^2-2y+12)



17分後…



toudai2012bu13.jpg

コーラのふりかけあいになります


『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

を知らないとコーラのふりかけあいになるわけです。


と言うことで

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

を使いたいと思います



これはxの範囲が欲しいのでy必要ありません

yを消去したらええねん。


yを消すときって

y=…

の形にしたやんな


だから

yが決まればxが決まる

と考えるのではなく

xが決まればyが決まる

と考えてyで整理するねん

toudai2012bu17.jpg

3y^2+(5y+4x)y+2x^2+4x-4=0

こうやってyについて整理すると

y=(-5-4x)±√(-8x^2-8x+73)/6

って解くようなもんです


そしたらxの定義域は

-8x^2-8x+73≧0

つまり判別式が0以上であればええわけやな

toudai2012bu18.jpg

そうすると
その定義域に応じてxが決まればyが1つや2つと言うように何個が決まるかもしれんけど

1つ以上は出てくるやんな


x=x1と入れてy1,y2…ってyが何個が出てきても

そのうちの1つy=y1とか入れれば、

元のx=x1の値は出てくるはずやな

つまり

-8x^2-8x+73≧0

であればさえあればyは勝手に存在するから、yのことについては考えなくてよくなるねん。

これが

『だから僕は独立変数と従属変数に同値変形して文字消去する』

です


もうええわ!


とりあえず仕上げよか


toudai2012bu19.jpg

yが存在するようなxの範囲は判別式Dとして

D=(5+4x)^2-4・3(2x^2+4x-4)≧0

これを解いて
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4

で最大値は(-2+5√6)/4

最小値は(-2-5√6)/4



ちなみに最初やった微分でも出来なくもないです。

と言うより理系なら、これくらいの処理は出来た方がええやろな。

参考に載せておくと

toudai2012bu14.jpg
toudai2012bu15.jpg
toudai2012bu16.jpg

後は面倒臭いから画像を見といてください




東京大学の入試の数学の過去問の解説





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