受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度文系第2問、図形と方程式の問題の解説
オレらは紙芝居の子らやな

意味わからんところで東京大学2012年度文系第二問の解説を書きます


[問題]
toudai2012bu22.jpg

実数tは0<t<1を満たすとし,座標平面上の4点O(0,0),A(1,0),B(1,0),C(t,0)を考える。また線分AB上の点Dを∠ACO=∠BCOとなるように定める
tを動かしたときの三角形ACDの面積の最大値を求めよ。


[解答と解説]

∠ACO=∠BCOの扱いですが、

toudai2012bu21.jpg

これはモンキーハンティングの問題です。


まず猿が滑り台滑ってるとこを反射させてお尻を狙う時点でおかしいし

そもそもモンキーハンティングの意味が全然違うことを確認してもらったところで

toudai2012bu23.jpg

これは反射なので対称移動させると直線になることをよく使います。

だからDをx軸について対称移動して
AD'とx軸との交点がCです。

これを覚えて帰ってください


それか単純に傾きの大きさが等しいと考えて
tan∠ACO=tan∠BCD

1/t=y/(x-t)
とかでもいいです。


そしたらやっていこか

toudai2012bu24.jpg

点D(x,y)として

点Dをx軸について対称移動した点をD'とすると点DはAB上より

y=-x+1…①
直緯線AC:y=-1/t(x-t)上に点D'(x,-y)があるので代入して
-y=-1/t・(x-t)…②

後はこれを単純に解いて
x=2t/(1+t),y=(1-t)/(1+t)



ここまではあれやな。

toudai2012bu25.jpg

面積も色々やり方ありますが例えば

△ACD=△OAB-△OAC-△DCB

とかそんなに問題なく出せると思います

後はあれやから、写真みといてください

それでまとめていくと

(t-t^2)/(1+t)

と言う式が出ます。


ここが東大やねん。

だいたい、東大では

相加平均相乗平均→最大値や最小値を出す

のパターンやねん。


これも相加平均相乗平均の関係なんちゃうか。

1+t>0やから

t+1と1/(t+1)を作ればええねん。

分子のt-t^2を(t+1)で割ればええねんけど

t-t^2=-(t+1)^2+t+2t+1
=-(t+1)^2+3(t+1)+1-3
=-(t+1)^2+3(t+1)-2

ってt+1で整理していく方法もあります。


すると

-(t+1+2/(t+1))+3

で相加平均相乗平均の関係が使えるな。

toudai2012bu26.jpg

t+1>0,2/(t+1)>0に注意してください。

(t+1+2/(t+1))≧2√2より
-(t+1+2/(t+1))≦-2√2ですね。

しかし
△ACD≦-2√2+3
だけではまだただの大小関係です。


この大小関係で最大値が-2√2+3と言うためには
等号成立をする
って言うことが絶対に必要です。


mが最小値であると言うためには

○m以上
○mの値をとる

と言えばええねん。

相加平均相乗平均の関係を使って最小値mを出すときもこの論法やから

等号成立を言うところが最重要なわけやな


例えばx+1/xの最小値は

定義域はx>0では
x+1/x≧2√x/x=2
でx=1が等号成立やから最小値2やけど

x≧5やったらx+1/xの最小値は余裕で2違うからな。
x+1/x≧2
はただの大小関係なだけやねん。


だから等号成立は
t+1=2/(t+1)
を解いて0<t<1に注意して
t=-1+√2
のときに最大値-2√2+3をとると言えます




東大ではしょっちゅう」

(t-t^2)/(1+t)

のような値の最大値とか求めさせれます。


数学3の微分知ってる人が有利になるような計らいなのかどうは知りませんが。

と言うことで微分しても全然大丈夫です。


数学2Bまでの範囲なら

だいたい相加平均相乗平均でできますが

逆手流や逆像法もよく使いますね

toudai2012bu27.jpg

k=(1-t^2)/(1+t)
とおいて
t→kではなく
k→tの形にして

t^2+(k-1)t+k=0

として0<t<1となるtが存在するようなk

つまりは0<t<1で解を持つ条件を考えます

一応やってみると

toudai2012bu28.jpg

f(t)=t^2+(k-1)t+k
とおいて
f(t)=(t+(k-1)/2)^2+k-(k-1)^2/4
と平方完成しておいて
f(0)=k
f(1)=2k
でこれはたまたま同符号やから

判別式d≧0
f(0)>0,f(1)>0
0<軸<1

の形だけになります。

これを整理したら出来上がりです。


東京大学の入試の数学の過去問の解説





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