受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2012年度文系第4問、二次関数の積分の問題の解説
もうちょっと成績あげるにはお兄ちゃんが守ったるからなの精神が必要やろな。


それでは東京大学2012年度文系の第4問の解説を書きます


[問題]
toudai2012bu41.jpg

座標平面上の放物線Cをy=x^2+1で定める。s,tは実数としt<0を満たすとする。点(s,t)から放物線Cへ引いた接線をl_1,l_2とする。

(1)l_1,l_2の方程式を求めよ。
(2)aを正の実数とする。放物線Cと直線l_1,l_2で囲まれる領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。


[解答と解説]
これは放物線と二つの接線で囲まれた部分の面積の問題やな。
toudai2012bu42.jpg


接線の交点は二つの接点の中点になってて

面積は二次関数の2次の係数をaとすると

|a|(β-α)^3/12

ってやつですね。


まずこの証明の流れはパっと出るようになってるかと言うところですね。


一般的にy=ax^2+bx+c(=f(x))(a>0)でP(p,q)から2接線を引引いてやってみますか

中点であることは微分して

y'=2ax+b

で接点をA(α,(α)),B(β,f(β))として

l_A:y=(2aα+b)(x-α)+aα^2+bα+c
l_B:y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c

ってやってy消去してもええねんけど

スマートにやるには

toudai2012bu43.jpg

接点のx座標の方程式を作ってその解がα,βである

と言えばええねん。

だからT(t,f(t))における接線を考えて

y=(2at+b)(x-t)+at^2+bt+c

これがP(p,q)を通るとすると

q=(2at+b)(p-t)+at^2+bt+c

tで整理して

at^2-2apt-bp-c+q=0

この解がt=α,βより解と係数の関係から
α+β=2p
つまり
p=(α+β)/2
で中点とわかります。


さらには面積も直線の方程式は求めず

二次関数の2次の係数と直線との接点がわかっていれば

f(t)-l_A=a(x-α)^2

ってわかるから

toudai2012bu44.jpg

∫(α,(α+β)/2){f(x)-l_A(x)}dx+∫((α+β)/2,β){f(x)-l_B(x)}dx

=∫(α,(α+β)/2)a(x-α)^2dx+∫((α+β)/2,β)(x-α)^2dx
=[a(x-α)^3/3](α,(α+β)/2)+[a(x-β)^3/3](α+β)/2,β)
=1/3×1/8×(β-α)^3+1/3×1/8×(β-α)^3
=(β-α)^3/12


ってすらすらとやれば


すごい…

今のどうやったの?

って聞かれることになります。


そしたらもうこっちのもんです。

あなたもテクニシャンになってください。



これを身につければ、接線と放物線に囲まれる面積の計算の仕方に強くなるしな。


と言うことで解答に入っていこか。

(1)
toudai2012bu45.jpg

y'=2x
C上の点P(p,p^2+1)における接線
y=2p(x-p)+p^2+1
を考えてこれが(s,t)を通ると

t=2ps-p^2+1

p^2-2sp+t-1

これで解を求めて代入したら完成ですね。


ここで間違えたら、たぶんイチジクの刑やろな。


(2)
toudai2012bu46.jpg

α=s-√(s^2-t+1)
β=s+√(s^2-t+1)

とおいて
s=(α+β)/2

と言うように中点とやってしまって、一気に(β-α)^3/12の式にもっていきましょう


それで

a=(2√(s^2-t+1))^3/12

やから

s^2-t+1=(9a^2/4)^(1/3)

や!

って答えると


半月後

toudai2012bu47.jpg

いつものように何も変わらない日々が続くことになります。


もうウツですね。


言うても東大の問題やからな。

これで終わるわけがない

聞き方に注意してください、



『s,tを領域の面積がaであらわせ。』

じゃなくて

『領域の面積がaとなる(s,t)を全て求めよ。』

ですよ。


こういう意味わからん言い方してくるのが東大やねん。

toudai2012bu48.jpg

これはな書いてるようにaの値によっては(s,t)がなかったりするねん。


だからaの値によって場合分けして

具体的に(s,t)はどういうものか書いていけばええねん。


この問題の意味のわからなさは過去問自体で勉強します



それではどうやtt整理したらええかと言うと
t<0
やけどtはsによってあらわされるので、

sを独立変数にしてtをその従属変数(t=g(s)みたいな)に整理していけばわかりやすいです。

toudai2012bu49.jpg

t<0
s^2-t+1=((9/4)a^2))^(1/3)


t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)<0

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

とやっとけばわかりやすいな。


そしたらtはsによって勝手に決まるからsだけ考えたらええねん。

すると

((9/4)a^2))^(1/3)-1=0となるaは2/3で

aがこれ以下やとsの範囲はないし

aが3/2より大きいときはsの範囲はあるから

t=s^2+1-((9/4)a^2))^(1/3)
-((9/4)a^2))^(1/3)+1<s<((9/4)a^2))^(1/3)-1

って答えといたらオッケーです。


東京大学の入試の数学の過去問の解説





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