受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

マクローリン展開について、高校生でもたぶんわかる説明

x>0のとき、不等式e^x>1+x/(1!)+x2/(2!)+…+x^n/n!(nは自然数)を証明せよ。
という問題で、
これはマクローリン展開ですか?
マクローリン展開を教えてください!うへ~って首を絞められて死にかけました。

と言うことで、高校生でもわかるマクローリン展開を直感的に教えたいと思います。
マクローリン展開は言ゆるテイラー展開の0の周りの展開です。
f(x)=lim(n→∞)Σ(k=0~n)f^k(0)/k!・x^k
(f^k(x)はf(x)のk階微分のことです)

f(x)=e^xの時は確かに
f^k(x)=e^xでf^k(0)=1だから
e^x=1+x/(1!)+x2/(2!)+…+x^n/n!+…
となります。

ようするにf(x)=lim(n→∞)Σ(k=0~n)f^k(0)/k!・x^kを示せばよいわけです。

例えばf(x)がn次多項式とします。
そのn次多項式を
f(x)=Σ(k=0~n)akx^k
と表します。
つまりx^kの係数がakと置いてます。

この時はak=f^k(0)/k!となります。

何故かと言うと、
f(x)=Σ(k=0~n)akx^k
にx=0を代入すると右辺はxのある項は全部消えて定数だけ残って
a0=f(0)
です。

今度は両辺1階微分すると
f'(x)=Σ(k=1~n)kakx^(k-1)
でこれにまたx=0を代入すると定数部分のa1だけが残って
a1=f'(0)

また今度は2階微分すると
f''(x)=Σ(k=2~n)k(k-1)akx^(k-2)
でまたこれにx=0を代入すると定数部分の2a2だけが残って
2a2=f''(0)
つまり
a2=f''(0)/2

また今度は3階微分すると
f''(x)=Σ(k=3~n)k(k-1)(k-2)akx^(k-3)
でまたこれにx=0を代入すると定数部分の6a3だけが残って
6a3=f'''(0)
つまり
a3=f'''(0)/3!

と言うことはk階微分考えると
f^k(0)/k!=ak
になります。

これは高校生でも数学的帰納法でちゃんと示せます。

よってf(x)がn次多項式の時は
f(x)=Σ(k=0~n)f^k(0)/k!・x^kとあらわせました。

もしf(x)が多項式でない、例えばsinxやe^xならどうなるか?

それは、ある条件を満たすならlim(n→∞)Σ(k=0~n)f^k(0)/k!・x^kになります。
級数ですね。

だから
e^x=1+x/(1!)+x2/(2!)+…+x^n/n!+…
となります。

こんな証明では、たぶん大学の数学科の友達にボコボコにされて二度と話してくれなくなると思いますが、これは高校生の疑問の気持ちを止めるための小さな犠牲です。

さっき書いてたある条件と言うのは
そもそも区間[0,x]でn回微分可能な関数fに対して
f(x)=Σ(k=0~n-1)f^k(0)/k!・x^k + Rn(x)
と表せて
Rn(x)=f^n(c)/n!・x^n(x) (0<c<x)
となるcが存在しますが
f(x)が何回でも微分可能で
ある区間で
limRn(x)=0
となれば、その区間で
f(x)=lim(n→∞)Σ(k=0~n)f^k(0)/k!・x^k
となります。

受験でテイラー展開とか使うと、こういうとこを厳密に問われるので中途半端に使えば痛い目にあいます。
もしテイラー展開使うなら、ちゃんと大学の微分積分の本で勉強して定理を完璧に暗記して使えるようにした上で使ってください。
(東大の問題で円周率が3.05より大きいことの証明がだされましたが、あれは東大生ならテイラー展開、マクローリン展開が出来なあかんってことを聞いてるのでは全く全然違います。そら完璧出来るやつがいたら凄いと思うし、そういう人は数学者になるのかもしれません)

大学の先生は解答見たらRnが0に収束するとか何も書いてないのに
僕はテイラー展開を知ってます、うへ~
って調子乗ってる奴が一番しばきたくなるタイプとか聞きます。

本当はこの証明には、平均値の定理のさらに一般化したコーシーの平均値定理を使って示します。
一応多項式を考えたのは、Weierstrassの多項式近似定理とか根拠らしきもんがあるんですが。
興味ある人は大学の微分積分の教科書を見てみましょう。
どの本がいいかわからん時はとりあえず東京大学出版会なら大丈夫です。


高校数学の公式や問題の解説




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