受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

京都大学2012年度理系第1問、極限と積分の小問題の解説
もう言うてもオペラ歌手が泣く季節になってんな。


京都大学2012年度理系第一問の解説いきます

[問題]
kyoudai201211.jpg

(1)aが正の実数のとき,lim(n→∞)(1+a^n)^(1/n)を求めよ
(2)定積分∫(1,√3)(1/x^2)log(√(1+x^2))dxの値を求めよ



[解答と解説]
(1+1/n)^n→eのネタかな?と思わせといて

よく見ると結構違うと言う簡単なのに意外にやりにくいのが京大っぽさです。


a^nの極限がaの値によって違うから、まずこれで場合分けっぽいな

kyoudai201212.jpg

r^nの扱いは
|r|>1
|r|<1
r=1
r=-1
で分けて考えましたね。

aは正なので
0<a<1
a=1
1<a
で分けて考えれば良さそうです。


よく修学旅行のお風呂で

大きさによって

参りました!

とかその人の扱いがかわったりしてたやろ。


もちろん、背の大きさとかの話な。


a>1のときは

kyoudai201213.jpg

これは大きいから1+a^nが言うてもほとんどa^nみたいなもんやねん。

それを表現するには

1+a^n=((1+a^n)/a^n)a^n

とやれば
(1+a^n)/a^n→1
やから
a^nに置き換えられたみたいになります。



0<a≦1のときは収束するけど

一つちょっと気になるのが

kyoudai201214.jpg

a_n→α
b_n→β

だからと言って

a_n^(b_n)→α^β

と言ってしまっていいのかどうかです。


和a_n+b_n→α+β
差a_n-b_n→α-β
積a_n・b_n→αβ
商a_n/b_n→α/β

とかはさすがに認められてると思うねんけど
指数の演算については微妙かもしれません。


そこれで対数関数や指数関数の連続性から

kyoudai201215.jpg

log(a_n)^b_n=b_nlog(a_n)
→βlogα=logα^β
より
a_n^(b_n)→α^β

とやっておけば安全です。

対数関数や指数関数の連続性よりとか言うと、正確すぎるような気もするけどな。


と言うことで解答は簡単です。

見といてください

kyoudai201216.jpg

0<a<1ではa^n→0、1/n→0で1^0=1に近づくから
これを対数で計算

a=1では2^1/n→2^0=1

1<aでは
(1+a^n)^(1/n)=((1+a^n)/a^n)^(1/n)a
→a
で対数で計算ですね。



しかしa^nや1/nは極限をとるのが指数のとこなので

定数倍や和ぐらいでは影響はないのを生かせば

もっと簡単で議論のやばさもなくて

kyoudai201217.jpg

1<1+a^n≦1+1=2

1^(1/n)<(1+a^n)^(1/n)≦2^(1/n)
とやれば挟み撃ちで
極限1になります。

kyoudai201218.jpg

1<aのときも
a^n<1+a^n<a^n+a^n=2a^n
より
a<(1+a^n)^(1/n)<2^(1/n)a
で極限aになります



(2)
logが入ってるので

kyoudai201219.jpg

∫log(x)dx

を思い出すと
1×log(x)
と考えて部分積分で
1を積分
log(x)を微分しました。

こういうときはとりあえず似たような積分を考えて

同じように出来ないかと考えてみるのが一つの考え方です。

kyoudai201220.jpg

普通にできます

1/(1+x^2)の積分はもうtanに置換して

角度のところが飛び出すなと感じるように練習しといてください


角度のところが飛び出すと言うことはtanの逆関数arctanになるねんけど

そういうネタもたまに出たりするとこやしな。


京都大学の入試の数学の過去問の解説





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