受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

京都大学理系文系共通第2問の立体図形の問題の解説
さあて、まさるの運動会を見に行くか

それでは京都大学2012年度理系文系共通第二問の空間図形の問題を解説します。

[問題]
kyoudai201221.jpg

正四面体OABCにおいて点P,Q,Rをそれぞれ辺OA,OB,OC上にとる。ただしP,Q,Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば,3辺PQ,QR,RPはそれぞ3辺AB,BC,CAに平行であることを証明せよ。


[解答と解説]
これはぶーわーベクトルで立てていったら出来るんちゃうん!

kyoudai201222.jpg

って1つ1つ条件を式にあらわしていくと

・P,Q,RはOA,OB,OC上より
OP→=kOA→,OQ→=lOB→,OR→=mOC→

これでええねんけど、あんまり一般的にやりすぎようとすると

kyoudai201223.jpg

吐血する可能性もあります。


と言うのはこの条件は実は

kyoudai201224.jpg

なんか、ぶーわー書いてますが

OP→,OQ→,OR→がなす角がそれぞ60°って言うのが本質なわけです。

OA→,OB→,OC→を基本ベクトルにとると言うことは

OA,OB,OCを座標軸にとってると言うことやから、なす角度がコアになるわけやな。


なす角度を考えることで、四面体である空間的な情報はある程度使えてるしな。


つまりなす角度が60°であることが空間ベクトルの仕事なので、

それがわかれば別に余弦定理とかで簡単に出来てまいます。


こういうとこが解答を見ると簡単に見えても

やってみると意外に出来ないと言う京大らしいとこやな。



△PQRが正三角形であることは長さが等しいで大丈夫やな。

kyoudai201225.jpg

なす角度が60°であれば良いから

OP→=p→
OQ→=q→
OR→=r→
とおいて
|p→|=p
|q→|=q
|r→|=r
とおいて

p→・q→=pqcos60=pq/2
q→・r→=qrcos60=qr/2
r→・p→=rpcos60=rp/2

の情報でいけます。

△PQRは正三角形だから
PQ=QR=RPより

|q-p|^2=|r-p|^2=|p-r|^2
整理して
|q-p|^2=|r-p|^2

q^2-pq+p^2=r^2-rq+q^2

|r-p|^2=|p-r|^2

r^2-rq+r^2=p^2-rp+r^2

ここまでくると因数分解やな
q^2-pq+p^2=r^2-rq+q^2
は次数が低い文字で整理が有利なのでqで整理したら余裕でできます

(p-r)q+r^2-p^2=9
より
(p-r)(p+r-q)=0…①

同様に
r^2-rq+r^2=p^2-rp+r^2

(q-p)(q+p-r)=0…②

p=q=rを言えば全部正三角形になって良さそうなので

p+r-q=0とかを否定したらオッケーですね。

kyoudai201226.jpg

p+r=qとすると
②からq=pの時は
p+r=p⇔r=0
となって不敵
q+p=rの時も
2p+r=r⇔p=0
となり不敵です

よってp+r≠qで

同様にq+p≠rと言えます。

よって

p=r,q=pからp=q=rですね。


これで△OPQと△OQRと△ORPは正三角形になって
∠OPQ=∠OAB=60°
∠OQB=∠OBA=60°
よりPQ//ABです。
同様にしてQR//BC,PR//AC


京都大学の入試の数学の過去問の解説

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