受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2013年度数学1Aの第2問、二次関数の問題の解説
ゲロ吐いて死にそうやけどセンター試験数学1Aの二次関数の問題の解説いっとこか


第2問
座標平面上にある点Pは,点A(-8,8)から出発して,直線y=-x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また,同じ座標平面上にある点Qは,点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して,直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のときである。以下,0<t<[ア]で考える。

(1)点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せば
S=[イ]t^2-[ウエ]t+[オカ]
となる。これより0<t<[ア]においては,t=[キ]/[ク]でSは最小値[ケコサ]/[シ]をとる

次に,aを0<a<[ア]-1を満たす定数とする。以下,a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。

(i)Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は
[ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。

(ii)Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]である。

(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは,t=[ト]/[ナ]のときであり,x軸方向に[ニヌ]/[ネ],y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。


[解答と解説]
速さとかの問題です

斜面を点Pが
ツー…
ってゆっくり擦っていくのはわかると思います。

でもこれは単に媒介変数のこと時間と言ってるだけでいつもと同じ媒介変数が入ってるだけの問題やねん


つまり点Pのx座標は媒介変数tを使って
x=-8+2t
点Qのx座標は
x=t
とあらわされると言うことやな

しかもこれで
Pはy=-x上より(-8+2t,8-2t)
Qはy=10x上より(t,10t)
と座標があらわせるな

PがOに到達するのは
-8+2t=0でt=4です!


(1)P'はPとx座標が等しいx軸上の点より(-8+2t,0)
Q'はQとx座標が等しいx軸上の点より(t,0)

すると0<t<4でP'がx軸上の負の部分にあることに注意して
△OPP'は
底辺=OP'
=|Pのx座標|
=-(-8+2t)
=8-2t

高さはPのy座標より
8-2t
よって
△OPP'=1/2・(8-2t)^2
=2t^2-16t+32

同じように
△OQQ'は
底辺=OQ'
=|Qのx座標|
=t

高さはQのy座標より
10t
で△OQQ'=1/2・10t^2
=5t^2

よって
S=2t^2-16t+32+5t^2
=7t^2-16t+32

最小値は平方完成して

S=7(t-8/7)^2+32-64/7
=7(t-8/7)^2+160/7

でt=8/7の時に160/7ってわかるな!


そしたら今度は
aが0<a<3を満たす定数で
a≦t≦a+1におけるSの最大最小やな

(i)Sがt=8/7で最小となるようなaの値の範囲ってことは
とにかくはt=8/7が範囲に入ってることやな
だから
a≦t≦a+1の中に注入して
a≦8/7≦a+1を解けばよいねん
よって
a≦8/7
と8/7≦a+1⇔1/7≦a
まとめて
1/7≦a≦8/7

(ii)Sがt=aで最大となるようなaの範囲か

最大になのは端点です
つまりt=aかt=a+1です

それでどっちが大きいのかと言うと、軸からより離れてる方でした

それを調べるには定義域の中点と軸の関係でしたよね

だからt=aで最大になるには軸が反対の右のt=a+1の方によっていればいいので

定義域の中点≦軸

{a+(a+1)}/2≦8/7
2a+1≦18/7
a≦11/14

(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは
を解けって言うわけか


O(0,0)
P(-8+2t,8-2t)
Q(t,10t)

y=2x^2のグラフの平行移動ってことはx^2の係数が等しいな
しかも原点通るから
y=2x^2+ax
やな

P(-8+2t,8-2t)を代入して
8-2t=2(-8+2t)^2+a(-8+2t)
これを展開するんじゃなくて、落ち着いてみると8-2t≠0で割れるから
1=2(8-2t)-a

a+4t=15

Q(t,10t)を代入して
10t=2t^2+at
これも整理する前に、t≠0で割って
10=2t+a

センターはなんかこういう感じの処理が多いな。


これでa消去して

2t+10=15
t=5/2
でおぅけい~!!!

また
a=10-2t
=5


だから
y=2x^2+5x
=2(x+5/4)^2-25/8

頂点(-5/4,-25/8)
よって
頂点(0,0)を

x軸方向に-4/5
y軸方向に-25/8

だけ平行移動すればよいって言うわけやな!!


センター試験の過去問の解説






テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/474-719ef7f2
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析