受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A2013年度平面幾何の問題の解説
はぁはぁ

はぅあ!

落ち着いてきたところでセンター試験2013年度数学1Aの第三問の平面幾何の解説をしよか


[問題]

点Oを中心とする半径3の円Oと,点Oを通り,点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,Bとする。また,円Oの周上に,点Bと異なる点Cを,弦ACが点Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき
AP=√[アイ],OD=[ウ](√[エオ])/[カ]
である。さらに,cos∠OAD=[キ]/[ク]であり,AC=[ケコ]/[サ]である。
△ABCの面積は[シスセ]/[ソタ]であり,△ABCの内接円の半径は[チ]/[ツ]である。

(1)円Oの周上に,点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。△ABCの内接円の中心をQとし,△CEAの内接円の中心をRとする。このとき,QR=[テト]/[ナ]である。したがって,内接円Qと内接円Rは[ニ]。
[ニ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)内接する
(1)異なる2点で交わる
(2)外接する
(3)共有店を持たない

(2)AQ=[ヌ](√[ネノ])/[ハ]であるから,PQ=(√[ヒフ])/[ヘ]となる。
したがって,[ホ]。
[ホ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。

(0)点Pは内接円Qの周上にある。
(1)点Qは円Pの周上にある
(2)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの内部にある
(3)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの外部にある。


[解答と解説]

解説いっとこか!

まず図を書いてみなあかんな

center20131a31.jpg

そしたら接すると言うことは円の中心と接線を結んだ線分と垂直になっていてまずそれを書くのが第一やな。

するとAPは三平方の定理で半径から
AP=√(1^2+3^1)
とわかるねん。

それで円の外の点から二接線を引いてたら、△AOP≡△ADPやったやんな

center20131a32.jpg

なんか変な生物がいますが敢えて気づかずに

APとODの交点をHとするとODの長さを求めるにはOHを求めれば2倍すればいいことがわかります。

そこで直角三角形APOに対して
sin∠PAO=PO/AP=1/√10
より
OD=2OH
=2AOsin∠PAO
=3(√10)/5
とわかります。

二等辺三角形が出ると頂角から垂線引いて直角三角形二つ作って

こうやって解くのはよくあるとこやな


cos∠OADは△OADに注目すれば余弦定理で出て
(AD^2+AO^2-OD^2)/2AD・AO
=4/5
とわかります


すると今度はACです。
センター試験やから前の問が誘導になってるから、それを元に考えなあかん

4/5やろ
しかもABは直径より∠ACB=90°やろ

4/5で直角…

center20131a33.jpg

そらもう3:4:5の直角三角形やろ

と言うことで

AC=AB×4/5
=24/5

△ABCの面積はBCの長さも求めておいたらいいから
BC=AB×3/5
=18/5

よって△OAB=1/2・AC・BC
=216/25

やな!

内接円の半径は他にもやり方あるけど面積あるから、
S=(a+b+c)/2でええやろ

216/25=r/2・(6+24/5+18/5)
r=6/5

でやっと(1)がはじまります。

(1)

センター試験の平面幾何はそのまま図を書いていくと、真っ黒になってまうやろ。
こんなもじゃもじゃでは見えんやろ。


と言うことで、新たに関係するものだけ書いた図を別に書いていくと見やすくなることが多いです。

今度は内接円やから、円Pは書かへんねん。

center20131a34.jpg

直角三角形で内接円やから、中心と接点を結ぶと辺と垂直になっていて直角のところで正方形が出来たやんな。
これをたぶん使うんやろな。

しかももう一つの直角三角形とは斜辺になる直径は同じ長さやし、ACは共通やから合同ですよね。
すると書いていくと正方形を書いてRQを引くと長方形になってますやん。

だから
QR=AC-2r
=24/5-12/4
=12/5
ってわかるねん。

それで内接円Qと内接円Rのことを聞いてるけど、半径を求めさせられいて、QRを求めさせれたわけやんな。

と言うことは半径と中心間の距離を求めされたわけやから、二円の関係ってことやな!

center20131a35.jpg

二円の関係は
和r1+r2=dが外接
差|r1-r2|=dが内接
さえ覚えいていれば他はわかると思うねんけど

和と差と中心間の距離を調べたらええねん

でも和が12/5+12/5=24/5=QRでもう外接やな

まあ図では離れてるねんけど、計算してみた結果わかると思ってくれたらええわ



(2)
今度はAQはAQについては円QとACとの交点をIとおくと直角三角形AIQから
AI=QR+r=2r+r=3rやって
三平方の定理から
AQ=√((3r)^2+r^2)
=(√10)r
=(6√10)/5

やな

ここでPが出てきたから、今度は円Rを書かずに円Pと円Qだけ書いたのを別に書くとみやすいねん。
center20131a36.jpg

ほら、そうしたら見やすいやろ
こんなに見えてしまったら、恥かしいくらいやな。

すると、どっちもACとADに接してるから二等分線上にあるねん。

更にAQをさっき求めされたから
PQ=AQ-AP
=(6√10)/5-√10
=(√10)/5
とわかるわけやな!

そしたら最後!!

選択肢を見ると点Pが円Qに入るかとか点Qが円Pに入るかとか聞いてるな。

これは難しいわけではないねんけど、あまり問われなかったかもしれん。

これはな、半径rの円って言うのは中心からの距離がrのところにある円やねん。

つまりこれより距離が近い点は内側やし、遠い点は外側なわけやねん。

この円をそういう領域と考えるわけやな。


center20131a37.jpg

そしたら円Pと点Qを考えると
円Pは半径1です。
つまり点Pからの距離が1以内の領域です。

点Qは点Pからどれくらいの距離のところにあるのかと言うと
PQ=(√10)/5
やったわけやな

これは1より小さいやんな

と言うことは領域ないやねん。

つまり点Qは円Pの内部にあるわけや


今度は見方をかえて円Qと点Pを考えると
円Qは半径6/5
つまり点Qからの距離が6/5以内の領域やな

点Pは点Qからの距離が(√10)/5やったから

これはそら6/5より小さい

と言うことは点Pは円Qに含まれるって言うことや!


センター試験の過去問の解説






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