受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(京都大学文系)命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。 命題q:すべてのnに対して、√(n+1) - √nは無理数である。

外に出ればセミがミンミンと無く声が聞こえる夏休みにも入り、すっかり夏休みに入りそうになりました。

今日は京大文系の2007年の問題です。

[問題]
080726_1.jpg
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。
正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。

命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。
命題q:すべてのnに対して、√(n+1) - √nは無理数である。

[解答・解説]
命題pからいきましょう。

まず自然数nに対して√nが有理数ってことは√nは整数のはずです。
当たり前ですが一応示したほうがいいかもしれません。

ただ案外気づかずに有理数のままやってしまうもんやと思うから、計算がぶーわーなった子がたくさん出たかもしれません。

√nが有理数とすると互いに素な自然数iとjを使って√n=i/jとあらわせてnj^2=i^2でiとjは互いに素だからj=1とか√2が有理数である証明みたいにしてもいいかもしれませんが、

nが平方数でなかったら√nは無理数はたぶん自明だから、

nが平方数なら√nは整数
nが平方数でないなら√nは無理数

√nが有理数⇔√nが整数
としてもいいかもしれません。

どこまで自明とするかがちょっと悩むとこです。

と言うことは、√nと√(n+1)は共に有理数ってことは√nと√(n+1)は共に整数ってことです。

整数なら差が1以上です。

整数問題ってこういう当たり前のことをよく使います。
4-3=1、5-3=2
とか言うように異なる整数で大きいほうから小さいほうを引くと、そら差は1以上になります。

ところが、さすがに√nと√(n+1)が差が1以上あるとは思えません。

そこをついていきます。

式にすれば
√(n+1)-√n
が1未満であれば、pは正しくないことが証明されます。

中学では分母を有理化しろって教えられました。

高校では分子を有理化しろって教えられます。
たぶん。

有理化と言っても

(√x-√y)(√x+√y)=x-y

を使います。

これは文系の問題ですが、理系の人なら数学IIIの極限求めるのにもよくつかったと思います。

さっそく分子を有理化してみましょう。

√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n)=1/(√(n+1)+√n)<1
(nは自然数より)

で1未満であることがわかりました。

よって√nと√(n+1)を共に有理数とすると√nと√(n+1)は共に整数であるが

0<√(n+1)-√n<1

より矛盾。

したがって命題pは正しくない。
080726_2.jpg

次に命題qですが、恐らくこれは正しいと感覚的に思えます。

出題者の意図としてpの方は結構当たり前なのでpはqを示すためにあると考えて良さそうです。

pを使う形にもっていくには、背理法を使って

あるnに対して、√(n+1) - √nは有理数である

として矛盾を示すことを考えます。

さっきもやりましたが、もう有理数と言えば

互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せる

を反射的に思い浮かべるようにしてください。

そらこれで解けない問題もあるかもしれませんが、かなりの割合で解けます。

「有理数と言えば

互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せる」

これさえあれば株の取引も出来ます。

と言うことで、√(n+1) - √nが有理数とすると互いに素な整数iとjを用いて
√(n+1) - √n=i/j(i≠0、j≠0)…①

そこで、また分子は有理化します。

1/(√(n+1)+√n)=i/j

√(n+1)+√n=j/i…②

①と②から

√(n+1)=1/2(i/j+j/i)

√n=1/2(j/i-i/j)

となって、√(n+1)と√nはともに有理数となります。

しかし、これはさっき正しくないことを証明したから矛盾してます。

よって命題qは正しいことが証明されました。

080726_3.jpg
時間が余った時は、ノートの下に図を描く練習でもしときましょう。



京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題の解説(主に受験)

整数問題の解法の解説と問題演習




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