| (京都大学文系)命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。 命題q:すべてのnに対して、√(n+1) - √nは無理数である。 |
外に出ればセミがミンミンと無く声が聞こえる夏休みにも入り、すっかり夏休みに入りそうになりました。 今日は京大文系の2007年の問題です。
[問題]
命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。
[解答・解説]
まず自然数nに対して√nが有理数ってことは√nは整数のはずです。 ただ案外気づかずに有理数のままやってしまうもんやと思うから、計算がぶーわーなった子がたくさん出たかもしれません。 √nが有理数とすると互いに素な自然数iとjを使って√n=i/jとあらわせてnj^2=i^2でiとjは互いに素だからj=1とか√2が有理数である証明みたいにしてもいいかもしれませんが、 nが平方数でなかったら√nは無理数はたぶん自明だから、
nが平方数なら√nは整数 どこまで自明とするかがちょっと悩むとこです。 と言うことは、√nと√(n+1)は共に有理数ってことは√nと√(n+1)は共に整数ってことです。 整数なら差が1以上です。
整数問題ってこういう当たり前のことをよく使います。 ところが、さすがに√nと√(n+1)が差が1以上あるとは思えません。 そこをついていきます。
式にすれば 中学では分母を有理化しろって教えられました。
高校では分子を有理化しろって教えられます。 有理化と言っても (√x-√y)(√x+√y)=x-y を使います。 これは文系の問題ですが、理系の人なら数学IIIの極限求めるのにもよくつかったと思います。 さっそく分子を有理化してみましょう。
√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n)=1/(√(n+1)+√n)＜1 で1未満であることがわかりました。 よって√nと√(n+1)を共に有理数とすると√nと√(n+1)は共に整数であるが 0＜√(n+1)-√n＜1 より矛盾。
したがって命題pは正しくない。 次に命題qですが、恐らくこれは正しいと感覚的に思えます。 出題者の意図としてpの方は結構当たり前なのでpはqを示すためにあると考えて良さそうです。 pを使う形にもっていくには、背理法を使って あるnに対して、√(n+1) - √nは有理数である として矛盾を示すことを考えます。 さっきもやりましたが、もう有理数と言えば 互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せる を反射的に思い浮かべるようにしてください。 そらこれで解けない問題もあるかもしれませんが、かなりの割合で解けます。 「有理数と言えば 互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せる」 これさえあれば株の取引も出来ます。
と言うことで、√(n+1) - √nが有理数とすると互いに素な整数iとjを用いて そこで、また分子は有理化します。 1/(√(n+1)+√n)=i/j ⇔ √(n+1)+√n=j/i…�� �，鉢△�ら √(n+1)=1/2(i/j+j/i) √n=1/2(j/i-i/j) となって、√(n+1)と√nはともに有理数となります。 しかし、これはさっき正しくないことを証明したから矛盾してます。 よって命題qは正しいことが証明されました。
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