受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学2016年度理系文系第二問、確率の問題の解説
さきほど股関節の右側のところから、右足の親指の爪にかけて

ぶるえ~!!!!!

ってなってました。


東京大学2016年度理系文系第二問の確率の問題を解説いきます。


[問題]
20160707044842d67.jpg

A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a)1試合目でAとBが対戦する。
(b)2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
(c)k試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は1/2で、引き分けはないものとする。

(1)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。



{文系は問いが一つ追加で
(1)ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2)nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3)mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。
}

[解答と解説]
(1)
Aが優勝するのは…
20160707044843fe5.jpg
AとBが戦ってAが勝ち、AとCが戦ってAが勝つときやろ
AとCが戦ってAが勝ち、AとBが戦ってAが勝つときやろ

だからn試合目では

って理論的に考えると…


二日後に家で

20160707044845591.jpg
こういう状態で発見されます。



どうやったら、こうなるねん!



20160707044846a51.jpg

そこで麦藁帽子かぶって、草原を走り回ってる何も考えてない全時代的なやつおるやん。
そういうやつは、あほそうで絶対解けなさそうやねんけどまずは全部書いてみるやん。


201607070448488a2.jpg

そしたら3回ごとに繰り返すって結構すぐにわかるねん。


東大の確率はまずは、こんなあほに解けるんかって感じでまずは全部書いてみる処理が多いねん。

こういう処理の感じを覚えていくのが東大のコツやねん。

しかも、実際に文系は5試合目で優勝するのを求めさせて、あほへの誘導がついてるしな。


ちなみに実はこの確率は他の大学でも、過去にほとんど同じ問題でてます。

と言うことで

2016070704492123a.jpg

n=3kのときは、Aが勝つことはないから確率0

上の方の樹形図のn=3k-1のとき
ACB ACB … ACB AA
ってACBがk-1個続いてからのAAやから
{(1/2)^3}^(k-1)・1/2・1/2=1/4・(1/8)^(k-1)

下の方の樹形図のn=3k+1のときは
BCA BCA … BCA A
ってBCAがk個続いてからのAで
{(1/2)^3}^k・1/2=1/2・(1/8)^k

どっちも1通りやから単に1/2かけていって(1/2)^nなだけやねんけどな。


(2)
20160707044922c8d.jpg

どうってことない普通の条件付き確率やな。
新課程やから、無理に出したんかもしれん。


条件付き確率は

3m回以下でA優勝した事象を新しい全体にするねん。

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになるのはどれくらいの割合かを計算するわけやな。

だから

新しい全体の大きさは
Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

その新しい全体において、Aの最後の対戦相手がBになる部分の大きさは

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k

で割合は

Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k/{Σ(k=1~m)1/4・(1/8)^(k-1)+Σ(k=1~m-1)1/2・(1/8)^k}

これを計算して

(8^m-8)/(5・8^m-12)
ですね。

ありがとうございました。



東京大学の入試の数学の過去問の解説

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