受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

∫log(1+x^3)dx
∫log(1+x^3)dxの値を求めよ


これは因数分解を意識して部分積分してみください。
というのは、
∫log(1+x^3)dx=xlog(1+x^3)-∫3x^3/(x^3+1)dx
ではなく
∫log(1+x^3)dx=(1+x)log(1+x^3)-∫3x^2/(x^2-x+1)dx
と部分積分の最初の積分をxではなくx+1とすると分母の次数が二次に簡単に下がります。

ここで
(xのn次式)/(xの二次式)の一般的な積分を解説します。
こういう積分に出会うとまずは、整式の割り算を行うと
(xの1次式)/(xの二次式)
になります。
要するにこれの一般的な積分を考えればいいわけですが、分母の判別をDとします。

1、D>0の時は解α、βをもつので
(ax+b)/(x-α)(x-β)=(b+aα)/{(α-β)(x-α)}-(aβ+b)/({α-β)(x-β)}
となるので、後は
∫1/(x-α)dx=log(x-α)+C
とか積分してください。

2、D=0の時は重解αをもつので
(ax+b)/(x-α)^2={a(x-α)+aα+b}/(x-α)^2
=a/(x-α)+(aα+b)/(x-α)^2
で積分をしてください。

3、D<0の時は分母を平方完成すると(x-c)^2+d^2とできて
まずはlog(xの二次式)の微分を考えて
(ax+b)/((x-c)^2+d^2)=a(x-c)/{(x-c)^2+d^2}+(b+ac)/{(x-c)^2+d^2}
と分けて
∫a(x-c)/{(x-c)^2+d^2}dx=(a/2)log{(x-c)^2+d^2}+C
で(b+ac)/{(x-c)^2+d^2}の部分は、1/(x^2+1)の積分を思い出して
x-c=dtanΘ
と置換してください。


答えは
∫log(1+x^3)dx=
(1+x)log(1+x^3)-∫3x^2/(x^2-x+1)dx=
(1+x)log(1+x^3)-∫3+3(2x-1)/{2(x^2-x+1)}-3/[2{(x-1/2)(x-1/2)+3/4}]dx=
x-1/2=√(3/4)tanθ(-π/2<θ<π/2)と置換して
(1+x)log(1+x^3)-3x-3/2log(x^2-x+1)+√3θ+C…(答)Cは積分定数

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:高校生 - ジャンル:学校・教育

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