質問された問題ですが、数学オリンピックの問題らしいです。

オリンピックとかみんな恐いわ。

[問題]
次の条件を満たす正の整数nは存在するか。

条件:任意の有理数rに対して
r=b+ 1/a_1 + 1/a_2 + …　+ 1/a_n
を満たす整数bおよび0でない整数a_1,a_2,…,a_nが存在する。

[解答とか解説]
この問題は、結構引っ掛けなような気がします。

有理数の定義はわかりますか？

有理数の定義は二つの整数n,m(m≠0)を使ってn/mとあわせる数のことです。

これは大切なのでしっかり覚えてください。

有理数の定義は二つの整数n,m(m≠0)を使ってn/mとあわせる数。

有理数の定義は二つの整数n,m(m≠0)を使ってn/mとあわせる数。

もっかい言うとこか？

有理数の定義は二つの整数n,m(m≠0)を使ってn/mとあわせる数。

ただもうちょっと解きやすくするためにn≧0としてrの正負の符号はmに任せるとして

r=n/mとなる整数n,m(m≠0,n≧0)が存在するから

r=1/m + 1/m + …　1/m

だからb=0、ak=m(1≦k≦n)とすればnは存在する。

証明終わりました。

具体的に言うと

r=4なら

4=1/1 + 1/1 +1/1 +1/1

r=3/7なら

3/7=1/7 + 1/7 + 1/7

r=-4/8なら

-4/8=1/(-8) + 1/(-8) + 1/(-8) + 1/(-8)

です。

この問題はかなり当たり前のことを言ってます。

しかし結構数学の問題をこなしていないと論理がわかりにくいと思います。

一つの有理数rに対して、こういうbやa_1,a_2,…a_nはたくさんの組み合わせが存在します。
有理数の表し方一つにしても

7/3=28/12=35/15

3=9/3=12/4

と言うように無限に表し方が存在するし、そのうちの一つをとっても

7/3=1 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3

や
7/3=2 + 1/3

や

7/3=3 + 1/(-3) + 1/(-3)

というように色々なbとa_1,a_2,…a_nの組み合わせが存在します。

この問題では、nが存在することを証明しろって言う問題です。(正確にはnは存在するか？っ問題ですが)

nが存在しろって言う証明は、具体的に一つあることを示せばよいわけです。

だから色々な組み合わせが考えられますが、その中で簡単に条件を満たすことを示しやすい組合わせを選んでその組み合わせが条件を満たすことを示すと言う証明方法を用います。

問題自体は当たり前ですが、その証明の仕方はかなり数学的な思考が必要です。