受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東京大学理系第五問(2008年)自然数nに対し、(10^n-1)/9=111…111(←1がn個)を【n】で表す…
8月になったから、5月はもう過ぎたことを感じさせられるこの頃です。
今日は東京大学理系2008年の第五問の問題です。


[問題]
080805_1.jpg
自然数nに対し、(10^n-1)/9=111…111(←1がn個)を【n】で表す。
例えば【1】=1、【2】=11、【3】=111である。

(1)mを0以上の整数とする。
【3^m】は3^mで割り切れるが、3^(m+1)では割り切れないことを示。
(2)nが27で割り切れることが、【n】が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。




[解答と解説]
080805_2.jpg
3で割り切れるとか9で割り切れるとか聞くと、中学受験で習うような

それぞれの桁の数字を足した和が3で割り切れたら3で割り切れる、

そえぞれの桁の数字を足した和が9で割り切れたら9で割り切れる、

とか当たりを使いそうな感じがします。


この証明は高校生ならやっといて欲しいですが、例えば1000=9×111+1
とか使って
27942なら
27942=2×10000 + 7×1000 + 9×100 + 4×10 +2
=9(2×1111 + 7×111 + 9×11 + 4×1) + 2 +7 +9 + 4 + 2
と言うよりに、27942の各桁の数字を足した和
2 +7 +9 + 4 + 2
が3や9で割り切れたら、27942も割り切れることを示しています。


だから【n】を各桁の数を足した和は1がn個並んでるからnですが、nが3^mの倍数なら3^mで割れそうですよね。
111を9で割ると余り3で、111111111を27で割ると余り9で、11111111を27で割ると17だから
更には【n】(n≧3^(m-1))を3^mで割った余りはnを3^mで割った余りでは?

と予想できそうですが、やってみると


080805_3.jpg
こういうおかしなことになります。
こんなこと親にもされたことありません。


さっきの予想は色々もっと計算機とかで調べたらわかりますが間違ってます。
この問題を解くに当たっては、あんま深く考えずに数学的帰納法を使うと計算ごり押しで解けました。
本当はもっとエレガントで出題者に意図に沿ってる感じがする解き方がありますが、それは次紹介するとして、単純に思いつくやれそうな計算をやるだけやると解けるって言うのは現実的に役に立ちそうなのでその解答をしたいと重いお増す。


080805_4.jpg
111…とか使わずに、元の(10^n-1)/9を使って強引に数学的帰納法を使います。
m=0の時はさすがに明らかです。

m=kの時に(1)の題意が成立すると仮定します。
この題意って言葉便利ですね。

するとその仮定を数式化して
(10^(3^k)-1)/9=3^ka_k(a_kは3で割れない自然数)
となります。

次に示すべきは
(10^(3^(k+1))-1)/9が3^(k+1)で割り切れて3^(k+2)で割り切れないことです。

だから仮定から
10^(3^k)=3^(k+2)a_k + 1
でこれを代入してみましょう。

080805_5.jpg
すると後は写真を見て欲しいがですが、10^(3^(k+1))は(10^(3^k))^3と考えて仮定の式を代入して展開すると

3^(k+2){3^(2k+2)(a_k)^3+3^(k+1)(a_k)^2}+3^(k+1)a_k

となります。
ちょっと写真は間違えてますね、すいません。

れで3^(k+1)で割り切れて、a_kが3の倍数ではないから3^(k+2)では割れないことが分かります。


(2)これも同じようにごり押し計算するとして
kを自然数として
n=27k⇒【n】は27で割り切れる
は、
(10^(27k)-1)/9を10^27k=(9+1)^27kと考えて二項定理で分解すると出てくる9の何乗とかを27でくくっていくと出来ます。


反対に
【n】=27k⇒nは27で割り切れる

(10^n-1)/9=27k
として10^n=(9+1)^nと考えて二項定理でばらして、また9の何乗とか27でくくっていくと出来ます。
080805_6.jpg
最後の
n=27k - 9/2n(n-1) + 27∑(i=1~n)3・9^(i-2)・nCi
は右辺が3の倍数の整数なのでnは3の倍数です。
nが3の倍数なら9/2n(n-1)の項は27の倍数になるから右辺は27の倍数になって、nは27の倍数です。

ちょっと変な感じですが、整数だからこうなります。

なぜ10^n=(1+9)^nと言う風にやるのかと言うと、例えば全ての自然数nに対して4^nは3で割ると余りは1と言う命題を証明する時、数学的帰納法とかでもいいですが
4^n=(3+1)^n
=∑(i=1~n)3^k・nCi + 1
と二項定理使えばそのまんまなので、またこういうやり方もあると言うのも選択支の一つに入れたってください。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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