受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三平方の定理の公式の証明の仕方
三平方の定理はピタゴラスの定理とも言われますが、証明の仕方を説明したいと思います。
(以下,a^2などはaの二乗を示す。)
三平方の定理の証明は、中学校の教科書に乗ってますが結構面白くて印象です。
もちろん角度が直角である直角三角形に用います。

斜辺の長さがcでその他の二辺の長さがaとbの直角三角形を考えます。
示すべきは
a^2 + b^2 = c^2
です。

a≧bとしておきます。
まず一辺の長さがcの正方形を考えて
080806_1.jpg
この正方形の中に写真のように四つ直角三角形を作ります。
この直角三角形の面積は1/2abですね。


すると真ん中に一辺の長さがa-bの小さい正方形が出来ます。
もしb≧aならb-aです。
この正方形の面積はどちらの場合にしろ(a-b)^2です。
((a-b)^2=(b-a)^2)

だからこの正方形は、直角三角形4つと小さい正方形に分解できます。


これを面積の方程式であわすと

(大きな正方形) = 4×(直角三角形) + (小さい正方形)
つまり
c^2 = 4×1/2ab + (a-b)^2
=2ab + a^2 -2ab + b^2
=a^2 + b^2


これは面白いですが、折り紙を用意して作図してハサミで切ってやってみるとええと思います。




080806_2.jpg
もう一つ、普通に相似とかで証明する方法を考えてみました。
ABの長さc,ACの長さb,CBの長さaとして斜辺がABの直角三角形として、点Cから辺ABに垂線CHを引きます。
BHの長さx,HAの長さyとおいて、x+y=cです。

CHの長さhとすると、直角三角形はABを底辺と考えた時高さはhです。

また直角三角形の面積は1/2abでした。

だから面積の関係から

1/2ab = 1/2ch

でh=ab/cです。

このhの出し方は簡単に速く計算できるから、やり方覚えといてください。


それと△ABC∽△CBH(∠ACB=∠CHB=90,∠CBA=∠HBCより二つの角が等しいから相似)
から
a:b=x:h
x=ah/b=a^2/c

この∠Bが共通とか、相似の問題で見落としやすいとこなので注意してください。

同じように△ABC∽△ACHyori
a:b=h:yからy=bh/a=b^2/c

でx+y=cに代入すると

a^2/c + b^2/c = c

でcを両辺にかけると

a^2 + b^2 = c^2

となります。



だから三平方の定理は、相似の問題で使うようなことをやれば証明できます。



ちなみにa^2やb^2やc^2は一辺の長さがaやbやcの正方形の面積なので
080806_3.jpg
面積c^2の正方形は、a^2の正方形とb^2の正方形を足したものになっています。



テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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