この前の京大文系の積分の問題で文系やのに体積の問題が出たから体積の計算の仕方を説明したけど分かりにくかったと思うから(リーマン積分の構成っぽく説明してる)、もっと分かりやすいと思われるんを書いてみました。


まず計算の仕方は
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こうやって、軸に対して垂直な面で切った断面の断面積を軸に沿って積分します。

だからx軸で考えるなら、x軸に垂直な平面x=kで切ってその断面積をS(k)として、求める物体のx軸での範囲をa≦x≦bとすると体積Vは

V=∫(a,b)S(k)dk

となります。
慣れてきたらkとか使わずに

V=∫(a,b)S(x)dx

とxのままやったり問題にあわせて使いやすいのを自由に設定してください。


ここで注意しなければならないのは、必ず積分する軸に「垂直」な平面で切ることをです。

ちょっと言いかえると、必ず断面積を「垂直」な軸に沿って積分してください。


例えば円柱とかって底面の円の面積Sに高さhをかけますが、これ底面と高さを表す線分は垂直になってますよね。
∫(0,h)Sdx = Sh

これは垂直に積分しないと、積分の範囲がhより長くなったりしてこの円錐の体積がShじゃなくなっておかしくなります。


それで、なぜ軸に垂直な平面で切った断面積を積分すれば体積かと言う説明をします。
まず体積Vを上図のx=aでの値を0として、aからxまでの体積の値をV(x)と表すことにします。
V=V(b)になってます。

区間[x,x+h]で断面積S(x)の最大値をS(t)(x≦t≦x+h)、断面積の最小値をS(u)(x≦u≦x+h)
とすると区間[x,x+h]での体積V(x+h)-V(x)は
S(u)h≦V(x+h)-V(x)≦S(u)h
になります。
写真ではuとtが反対になってますね。
またミスったか…

断面積が一番小さいとこにhかけたのは、そら区間[x,x+h]での体積V(x+h)-V(x)以下になるし、
断面積が一番大きいとこにhかけたのは、区間[x,x+h]での体積V(x+h)-V(x)以上になります。

それで不等式からhで割って

S(u)≦(V(x+h)-V(x))/h≦S(u)

として、hを限りなく0に近づけるとuもtもxとx+hの間にあるから、xに限りなく近づくから
S(u)もS(x)、
S(t)もS(x)へ限りになく近づきます。

と言うことは間の(V(x+h)-V(x))/hもhを限りなく0に近づけるとS(x)になりますが、(V(x+h)-V(x))/hは限りなく0に近づけるとV(x)の微分のV'(x)でした。

だから
V'(x)=S(x)
になります。


これを定積分すれば

V(b)-V(a)=∫(a,b)S(x)dx
⇔
V=∫(a,b)S(x)dx

と求める式が求まります。

練習として球の体積の計算を試しにしてみるのもよいと思います。
図を書いて数式をたててください。
∫(-r,r)π(r^2-x^2)dx

体積の求め方がよくわかる練習問題→回転体の体積の問題、東京工業大学2009年度第4問の解説

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