受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角形の面積の比の問題(相似)
相似の問題で三角形の面積の比の問題です、今回は。

最近、こんな複雑な問題誰が読むねんって言う空気を感じ取ってきたから、もう少し中学数学のの話しも書こうとしてるこのごろです。


080810_1.jpg
こういう三角形ABCの辺ABとACに点DとEをとって、直線で結んで
AD:AB=3:5
AE:AC=7:11
とします。

この時、△ABCと△ADEの面積の比はなんぼか?って問題です。

答えは
△ABC:△ADE=AB・AC:AD・AE
=3・7:5・11
=21:55
です。


求め方は結構単純です。

この問題は、友達が学校に来るなり黒板に書き出して

これなんぼやと思う?

って別に興味持ってるわけじゃないのに聞かれたのを覚えてます。

そして今僕が同じことをみんなにしてます。


この問題は、塾とかで教えられるような問題で余り学校ではやらないかもしれません。


なぜこうなるかですが、
080810_2.jpg
点Dと点BからACに向かって、垂線DH1と垂線BH2を引きます。
すると、DH1とBH2は同位角が直角で平行だから△ADH1と△ABH2は相似になります。

と言うことは、BH2:DH1=AB:ADになります。

また、△ABCと△ADEの面積はそれぞれ辺AC,AEを底辺、線分BH2とDH1を高さと考えると
△ABC=1/2AC・BH2
△ADE=1/2AE・DH1
です。


だから
△ABC:△ADE=1/2AC・BH2:1/2AE・DH1
で1/2はいらんから
=AC・BH2:AC・DH1

BH2:DH1=AB:ADだから、BH2=kAB、DH1=kAD(kは定数)となるから
=AC・kAB:AC・kAD
kは取り除けるから
=AC・AB:AC・AD

となります。
数字を入れて
=3・7:5・11
=21:55
で完成です。


これは、△ABCと△ADEにおいて、それぞれ辺ACと辺AEを底辺と考えて、辺ABと辺ADを高さみたいなものと考えています。
もちろん底辺と高さを反対に考えてもオッケーです。


高校で習いますが、このBH2=kAB、DH1=kADのkは実は∠BAC=θとするとk=sinθと言う表記があってこの表記を使うと
ABsinθ=BH2、ADsinθ=DH1で

△ABC=1/2BH2・AC=1/2AB・ACsinθ
△ADE=1/2DH1・AE=1/2AD・AEsinθ

と言う公式があります。

だから、この公式を見るからには明らかに
△ABC:△ADE=AB・AC:AD・AE
です。




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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