受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角不等式を用いた証明
三角不等式についてですが、質問された問題でちょうど良さそうだったので説明しときたいと思います。


ところで三角不等式って言うのは知ってるかな?

三角不等式は、当たり前のことなのでどこかで聞いたけど忘れてるかもしれません。
中学の時に習ったような気がするねんけど、どうなんやろ。

またその辺のことはわからないので教えてください。


一応高校の数学Aの平面図形とかでは習うかもしれません。 複素数とかベクトルでも習うんかなあ。

三角不等式とは、三角形の成立条件であって
「三角形の 2 辺の長さの和は残りの 1 辺の長さよりも大きい」
と言うものです。
見落としがちですがたまに使うので、覚えてください。


これは一つの式にあらわすと、△ABCでBC=a,CA=b,AB=cとすると

|b-c|<a<b+c
です。

ぴしゃっと三角形をつぶして直線になるまで考えたのが

|b-c|≦a≦b+c

a≦b+c
b≦a+c
c≦a+b

でこれが三角不等式です。

等号成立はa≦b+cなら点Aが線分BC上になる時です。

三角形の成立条件って言うのは具体的なイメージは
080816_1.jpg
もし、a>b+cならば長さがbとcの二辺をどれだけ伸ばしても長さaの辺の端に届かないので三角形はできません。
もし
b-c>aならば長さがbとcの二辺の両端に長さaの辺は端に届かないので三角形はできません。

ちなみに
-1≦cosΘ≦1
に余弦定理から
cosΘ=(b^2+c^2-a^2)/2bc
を代入して
-1≦(b^2+c^2-a^2)/2bc≦1

-2bc≦b^2+c^2-a^2≦2bc

(b-c)^2≦a^2≦(b+c)^2,

|b-c|≦a≦b+c

と言うように余弦定理には三角不等式が含まれています。


三角不等式はかなり平面幾何って感じですが、実は距離の概念に用いられる重要なものです。

見落としがちでサラりと流されそうな三角不等式ですが、難しい問題で重要になることがあるのでこれを使って解ける問題を紹介します。



[問題]

a、bを定数とし、y=ax+bで与えられる直線をlとする
(1)直線l上に2点A_1、A_2を取る。A_1P+A_2Pが最小になるような平面上の点Pについての条件を求めよ。
(2)直線l上に3つの点A_1、A_2、A_3を取る。この3つの点のx座標をそれぞれ、a_1、a_2、a_3とし、a_1 (3)直線l上にn個の点A_1、A_2、A_3…、A_nを取る。このn個の点のx座標をそれぞれ、a_1、a_2、a_3…、a_nとし、a_1

[解答と解説]
(1)は普通に三角不等式を使います。
080816_2.jpg
A1P+A2P≧A1A2
このような不等式が成り立ちます。
右の値のA1A2はPの値によらないので、この値をA1P+A2PがとれるならA1A2が最小ですがこれは線分A1A2上に点Pがある時です。

(2)も三角不等式を使いますが、ちょっと変な感じがするかもしれません。
両端のA1Q+A3Qに三角不等式を使うと
A1Q+A2Q+A3Q≧A1A3
です。
A2Qは0以上なのでこの不等式は正しいのはわかると思います。

正しいですが、これから最小を導くにはこの不等式が正しくて等号が成立する時があることを言えば良いわけです。

だから三角不等式の等号が成立するにはQが線分A1A3上で、A2Qが0になるにはQが点A2と一致する時で、この両方の条件を満たすのはQが点A2と一致する時です。

だからこの時最小になります。

少し変な感じがするかもしれません。

不等式の見方には色々あって例えば
x≧2
と見れば、xは2以上の実数を動くって言う解釈とxは2以上のある値であると言う解釈があります。

だから、2が最小値であると示すには
xは2以上の実数を動くので2が最小値と言う論法と

xは2以上のある値であるが、x=2となる状況が存在するから2が最小であると言う論法があります。

この問題でもとりあえずは
A1Q+A2Q+A3Qの値はA1A3の値以上のある値であると言って、
そしてA1Q+A2Q+A3Qの値がA1A3の値と一致する状況が存在すると言う論法を使っています。

こうすると難しい問題とかで示しやすいことがあるので、最初は変な感じするかもしれませんが頭の片隅に入れておいてください。

(3)も同じようにしてやります。
080816_3.jpg
A1RとAnRのペア、A2RとAn-1Rのペア、A3RとAn-2Rのペアって両端かペアを作っていって三角不等式を使います。

すると、(1)(2)のようにRに関係ないある値以上と出来て、それらが全て等号成立するのはRを一番真ん中の区間に入れたら良いわけですが、偶数の場合ペアを組んでいくとちゃんと全部ペアが組めますが、奇数の場合ペアを組んでいくと最後に3点残ります。
だから奇数の場合は(2)を使います。

偶数の場合は一番真ん中の線分上にRがあったらよくて、奇数の場合は一番真ん中の点に一致すればオッケーです。


高校数学の問題と解説



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