受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

四角形の対角線の角度(ラングレーの問題)中学数学の難問図形問題
中学の図形問題の難問だと思います。
この問題を中一の女の子に聞かれた時は、血吐いて白目むいて気絶しかけました。
c1_1.jpg

四角形ABCDで
∠ABC=40
∠DBC=30
∠BCA=35
∠ACD=30
の時∠CAD=xの値を求めよ。
後から調べるとラングレーの問題って言う類の問題やったみたいです。
確かに下の四つの角が決まればxの値は決まるはずです。


この問題はちょっと難易度が高いみたいなので、まずはこの本家のラングレーの問題を見てください。
c1_2.jpg

四角形ABCDで
∠ABC=20
∠DBC=60
∠BCA=50
∠ACD=30
の時∠BDA=xの値を求めよ
この解き方は色々ありますが、一番簡単でわかりやすそうなのは二等辺三角形と正三角形を無理矢理つくっていく方針です。



c1_3.jpg

まずこうやって二等辺三角形ができるように
直線BC上に
∠EBC=20
となる点Eをとると、
∠BEC=∠BCE=80でBC=BE
∠BAC=∠BCA=50からAB=BC
∠ABE=80-20=60からABEは正三角形でAE=AB=BE
∠DBE=∠EDB=40からBE=DE

AE=DEから△ADEは二等辺三角形で
∠AED=180-80-60=40
∠EDA=(180-40)/2=70
x=70-40=30


こういう問題は無理矢理二等辺三角形と正三角形を作っていくことを頭に入れて、さっきの問題をやってみましょう。
この問題は無理矢理、二等辺三角形と正三角形を作っていくことを頭に入れておいてください。


c1_5.jpg

まず二等辺三角形ができるように
直線BC上に
∠BAE=40
となる点Eをとってください。
∠ABE=∠AEB=70からAB=AE
∠EAC=ECA=35からAE=EC


ここから点Dを∠DCA=30となる直線上で動かすとする。
c1_4.jpg

すると∠DECが増えるに従って∠ABDは減り∠DECと∠ABDには一対一の対応がある。

方針
∠ABD=40となるような∠DECの値を予想する。
∠ABD=40の時たぶん△AEDは正三角形
だから正三角形と予想したら
∠DEC=180-∠AEB-∠AED=70-60=50
だから
∠DEC=50と予想する。
この時∠ABD=40となれば予想は数学的に正しい。


ということで∠DEC=50と仮定する。
∠ECD=∠CDE=65からEC=ED
よってED=AEで
∠AED=180-70-50=60から△AEDは正三角形
よってAD=AE=EDなのでAD=ABで
∠ABD=(180-∠BED)/2=(180-100)/2=40
したがって、この仮定は正しい。
c1_5.jpg

よってx=∠EAD-∠CAE=60-35=25


ちょっとこの仮定するところが難し過ぎる気がしますが、たぶん△AEDは正三角形って決めて後からこじつけして解いてください。
左から50°、30°、35°、30°ってやるとx=21.05…とかわけわからん数になるので、中学レベルで解けるってことはたぶん正三角形です。
僕を信じてください。



テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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