京都大学2007年、理系甲の６の問題です。

[問題]


y=xe^(1-x)とy=xのグラフで囲まれた部分をx軸の周りに回転して出来る立体の体積を求めよ。


[解答と解説]

たまに京大って聞いて難しくて考えてしまう人がいますが、これはかなり基本的な問題なので落ち着いて考えてください。

まずはやるべきことは、いつものように図を書くことです。

y=xe^(1-x)と言うグラフを調べなければなりませんが、グラフの概形をかけと言う問題ではないので微分とかしなくてオッケーです。

このような回転体の体積を求める問題では

xe^(1-x)とxの差をとって、交点や大小関係を調べるだけで体積を求めるのに必要なグラフの情報はわかります。

もちろん場合によっては微分しなければならないですが、どこまで調べなければならないかは問題によって変わるから臨機応変にやってください。

xe^(1-x) - x =x{e^(1-x) - 1 }

だからx=0とx=1が0になるから交点で、その点で大小関係が入れ替わります。

だから

x≧1の時、xe^(1-x)≦x
0≦x≦1の時、xe^(1-x)≧x
x≦0の時、xe^(1-x)≦x
です。

これでとりあえず簡単なグラフがかけます。


このy=xe^(1-x)とy=xで囲まれた部分のx軸周りの回転体の体積ですが、
0≦x≦1の範囲でy=xe^(1-x)のx軸周りの回転体からy=xのx軸周りの回転体を取り除きます。


y=xのx軸周りの回転体は、半径1高さ1の円錐でπ/3とすぐにわかります。

y=xe^(1-x)のx軸周りの回転体の体積はπ∫(xe^(1-x))^2dxです。

回転体の体積について



積分の計算は
(xのn次式)・e^x
みたいな形は部分積分でe^xの方を積分すれば単に定数が前に出るだけで、
(xのn次式)の方を微分すれば次数がどんどん下がります。


それを利用して計算していきます。

ちょっと計算複雑ですが、簡単と言えば簡単なのでこんなところでミスらないように気を付けましょう。

京大は問題が作り込まれていて簡単な計算で綺麗な数字が出るようになってることが多いですが、その分計算間違いをすると痛いかもしれまれません。

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