受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

解の公式、2次方程式
二次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)
の解の公式は
080920_m1.jpg
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
です。

中学でまた二次方程式の解の公式が復活しましたが、これはなんでこうなるのかって言う理屈の前に部活の帰りとかに一人で何回も唱えたりして覚えてください。

ちなみに
ax^2+2b'x+c=0(a≠0)
とかxの係数に2がある場合、解の公式は
x={-b'±√(b'^2-ac)}/a
となりますがこれは覚えておくと便利です。

無理に覚えないでいいです。


導き方は中学では、
(xの式)^2=xのない式
とか言う形に持っていって
xの式=±xのない式

これは高校では平方完成とか言いますが、まずx^2の係数aで両辺割っておいた方がわかりやすいかもしれません。
x^2+(b/a)x+c/a=0
そして
(x+b/2a)^2
と言うように、xの係数の半分b/2aをxに足した二乗を考えます。
するとこの式は展開すると
x^2+(b/a)x+b^2/4a^2
となって、x^2+(b/a)xがあるから元のx^2+(b/a)x+a/c=0のxの式のとこがこれで表せます。

だから帳尻を併せて
x^2+(b/a)x+c/a=0
x^2+(b/a)x+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2=0
と言うように、b^2/4a^2を足して引きます。
すると
(x+b/2a)^2+c/a-b^2/4a^2=0
となります。
もう少し整理していって
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
で、これから
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
でb/2aを移項して
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
で答えが出ました。

このb^2-4acが負になったら、どうするのかって話がありますが中学ではそういう問題は出ません。
出た場合は、解は無しです。

テストとかで出る問題は、解の公式を導けって問題はおそらく無くて解の公式を使って計算しろって言う問題なので覚えて使えるようになることが大切です。


ここから、おまけです。
高校生向きの内容ですが、一応難関私立を目指すなら中学生でも参考になる式の変形かもしれません。
080920_m2.jpg
2次方程式の解をα、βとすると
(x-α)(x-β)=0
と因数分解されるので、これを展開して
x^2-(α+β)x+αβ=0
だから係数を比較すると
α+β=-b/a
αβ=c/a
です。

これは高校で習う解と係数の関係と言います。

この二つの式があるから、α=-b/a-βをαβ=c/aに代入すると解けるはずです。

すると
(-b/a-β)β=c/a
β^2+(b/a)β+c/a=0
になって、元の二次方程式に戻ります。

これでは解けません。

そこはαとβが見分けがつかないからです。

だからα≧βと言う大小関係をつけてみて、α-βを考えてみます。
080920_m3.jpg
(α-β)^2=α^2-2αβ+β^2
=(α+β)^2-2αβ-2αβ
=(α+β)^2-4αβ
=b^2/a^2-4c/a
=(b^2-4ac)/a^2
で、α-β≧0だから
α-β={√(b^2-4ac)}/a
です。

これで
α+β=-b/a
とあわせてα、βの連立方程式として解けば
α={-b+√(b^2-4ac)}/2a
β={-b-√(b^2-4ac)}/2a
と解けます。

中学数学の問題や公式

高校数学の問題や公式




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