受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

衝突後物体が一体となると、何故運動量は保存量されて運動エネルギーは保存されないか?
弾丸を物体に撃ち、衝突後一体となった時は、運動量は保存されるのに運動エネルギーは何故保存されないんですか?


確かに運動量は保存されますが、運動エネルギーは保存しません。

弾丸の質量をm、衝突前の速度をv
物体の質量をM、衝突前の速度をV

衝突後の弾丸と物体の速度をUとすると運動量保存則から

mv+MV=(M+m)Uより

U=(mv+MV)/(M+m)

で別に計算しなくても重心の速度vg=(mv+MV)/(M+m)に一致してるはずだからわかりますが、運動エネルギーは

衝突前:1/2mv^2+1/2MV^2

衝突後:1/2(M+m)U^2=1/2(mv+MV)^2/(M+m)

で衝突後では衝突前より運動エネルギーは

1/2mv^2+1/2MV^2 - 1/2(mv+MV)^2/(M+m)
=Mm(v-V)^2/2(M+m)

だけ減っています。
これは重心の観測者から見れば弾丸の速度はv-vg=M(v-V)/(M+m)、物体はV-v=m(V-v)/(M+m)で衝突後の運動エネルギーは0だから、衝突前の運動エネルギー

1/2m(v-vg)^2 + 1/2M(V-vg)^2=Mm(v-V)^2/2(M+m)

に一致してます。


衝突の問題は重心で考えさせられることが多いので慣れていてください。



それで、この減った分は物体に弾丸が埋まるさいに音が鳴ったり熱の発生にエネルギーが変化しています。

どういう時に運動エネルギーが保存されるのかと言うと完全弾性衝突、つまりはね返り係数が1の時です。

この問題では衝突後の相対速度が0なのではね返り係数は0です。

本来、2つの物体の衝突の問題は衝突後の二つの速度を求めなければならないので式が二つ必要でそれが運動量保存則とはね返り係数なわけですが、このように合体する問題でははね返り係数が0って言う条件が衝突後の物体二つの速度が同じと言うことに使われています。
衝突後の物体の速度がそれぞれ同じなら相対速度が0ではね返り係数は0ってことになります。


おまけに運動量が保存されるのは、弾丸と物体の間のお互いに及ぼす力、つまり内力が作用反作用の法則で打ち消しあうからです。

何故そのような力の関係が運動量の話になるかと言うと、それは物理の話と言うより運動方程式と作用反作用の法則による数学的な式の変換の話で
弾丸が物体から受ける力をf(t)とすると、作用反作用の法則から
物体が弾性から受ける力は-f(t)で運動方程式は

弾丸:mdv/dt=f(t)
物体:MdV/dt=-f(t)

でf(t)はわけのわからない時間tの関数ですが、この二式を足すと

d(mv+MV)/dt=0

になります。

これはmv+MVは時間で微分すると0、つまりmv+MVは時間tによらず一定の値をとるってことです。
これが運動量保存則です。

高校物理




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