受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題…因数分解をする解法
整数問題はみんな甘くて切なくて心が苦しくなるから、

なんで整数なんてこの世にあるんだろう。
整数問題なんか無くなればいいのに。

って思うかもしれません。

その気持ちはわかります。



[問題]
xとyが整数で

xy=x+y+4

の時、x、yを求めよ。



[解答・解説]
整数問題の解法を色々とありますが、整数問題の一つの解法に

(因数分解された文字式)=(整数)


と言う形にして整数の約数を考えて解くと言う方法があります。


例えばmとnを正の整数とする時
mn=6
ならば6の約数は{1,2,3,6}だから
(m,n)=(1,6),(6,1),(2,3)(3,2)
と言う組み合わせしかありえません。


こういう形にするには、文字でない整数は足したり引いたりするのに融通が聞くことを使って因数分解出来る形にします。

xy-x-y=4

と言うように文字を左辺に移項して因数分解の基本的なやり方、xで整理すると

xy-x-y=(y-1)x-y

でxの係数はy-1だからxの無い項にy-1を作り出すには1を一番後ろに足せば因数分解出来る形になります。
だから

(y-1)x-y+1-1=(y-1)x-(y-1)-1
=(y-1)(x-1)-1

になります。

だから元の式は

(x-1)(y-1)-1=4

から

(x-1)(y-1)=5

となります。

(x-1)と(y-1)は整数で5の約数は{1,5}だから正負の組み合わせも考えて

(x-1,y-1)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)

より

(x,y)=(2,6),(6,2),(0,-4),(-4,0)

と答えが決まりました。

整数問題でこのやり方もよく出るので、選択肢の一つにいれてください。



せっかくなのでちょっと練習問題を作ってみました。

答えとかやり方を知りたい人や、解答を見て欲しい人は適当にメールください。

[練習問題]
m,nを整数として
m^2+mn=3m+4n+9
が成り立つ時、mとnの値を求めよ。
(m^2はmの2乗と言う意味です)

解答と解説

高校数学の公式や問題の解説

中学数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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