平均変化率は中学で最初習った時は、わかりにくいことがよくあります。

(xの増加量)分の(yの増加量)とか覚えます。


平均変化率が具体的に何を表してるのか言うと、例えばy=ax^2のx=sからx=tまでの平均変化率は

この2点(s,as^2),(t,at^2)を結んだ直線の傾きです。


実はy=ax^2って言う関数ではt^2-s^2のとこを因数分解すると分母と分子に(t-s)があらわれるから

m=a(t^2-s^2)/(t-s)
=a(t+s)(t-s)/(t-s)
=a(t+s)
と言うように約分出来てsとtを足してaかけるだけで求まります。



なんでこんなものを求めるのか言うと、(s,as^2)と(t,at^2)の放物線はこの2点(s,as^2),(t,at^2)を結んだ直線に似てなくも無いと思いませんか？

はい、思いますね。


だからx=sからx=tまではこの直線とだいたい同じような感じで放物線は変化してると言うように参考になります。


しかしこの考え方は一見いい加減なようですがこのsとtをpと言う値にどんどん近づけてs=tにすると、放物線y=ax^2にx=s=pで接する直線、つまり接線になります。


この接線の傾きを求めるにはm=a(t^2-s^2)/(t-s)はt=s=pとすると分母が0になるからt=sにできません。

ところが変形するとm=a(t+s)でもあるので、これにはt=s=pと出来てm=2apとx=pでの接線の傾きが求まってしまいます。
これは言わゆる微分って言うもので高校から習うから、まあまたなんか言うてるなって聞き流してください。


中学数学の公式や問題の解説