受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題の倍数の問題(剰余系、合同式)と連続2整数と連続3整数
整数問題、甘くて切ないですが今回はよくある問題を解説したいと思います。

以下、n^3はnの3乗、n^2はnの2乗を表す。

[問題]
nを自然数とする。

n^3+2n+1を3で割ると1余ることを証明せよ。


[解説]
こういう問題でよくやるのがkを0以上の然数として

(i)n=3kの時(k≠0)(nが3で割れる自然数)

(ii)n=3k+1の時(nが3で割ると1余る自然数の時)

(iii)n=3k+2の時(nが3で割ると2余る自然数の時)

に場合分けして代入してみます。

(本当はn=3k、n=3k-1、n=3k-2と場合分けを書いたほうがkは自然数と言う条件で統一されて使いやすいので慣れてきたらこっちの表記でやってみてください。)


(i)n=3k(k≠0)の時、n^3+2n+1=27k^3+6k+1=3(3k^2+2k)+1

3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。

(ii)n=3k+1の時、n^3+2n+1=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2+1=3(9k^3+9k^2+5k+1)+1
で同じく
3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。

(iii)n=3k+2の時、n^3+2n+1=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4+1=3(9k^3+18k^2+14k+3)+1
でこれも同じように
3×自然数+1
の形になるから、3で割ると1余ります。


これで証明は終わりです。


ちなみに剰余系(合同式)を勉強してる人は3を法とする剰余系の演算を使えば

n≡0の時、n^3≡0×0×0≡0(mod3)
n≡1の時、n^3≡1×1×1≡1(mod3)
n≡2の時、n^3≡2×2×2≡8≡2(mod3)

なのでn^3≡n(mod3)になってるから

n^3+2n+1≡3n+1≡1(mod3)
と出来ます。


わかった、そこまで言うんやったらまた剰余系については書きます。



このやり方も大切なので覚えて欲しいのですが連続2整数n(n+1)、連続3整数n(n+1)(n+2)を使う方法があります。

n(n+1)は1と2、5と6、45と46のようにnとn+1のどっちかは偶数になるので2の倍数です。

n(n+1)(n+2)は1と2と3、6と7と8、56と57と58のようにnとn+1とn+2のどれかは3の倍数ですがn、n+1のどっちかは偶数であったので結局6の倍数になります。

これをどう使うかと言うと、無理やりこの形を作り出していきます。

まあこの問題ではn(n+1)(n+2)が3の倍数であることだけ使います。

n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
に注意して

n^3+2n+1=(n^3+3n^2+2n)-3n^2-2n+2n+1
=n(n+1)(n+2)-3n^2+1

よってn(n+1)(n+2)は連続3整数の積なので3の倍数だからn(n+1)(n+2)-3n^2+1は3で割ると1余ります。

こっちの方はこんなんも解けますねんおじさんみたいに式変形に慣れていれば簡単に出来るから便利です。


どっちがお勧めかと言うと、やっぱり最初の場合分けの方が機械的に出来るのでお勧めです。

式変形に慣れてきたら簡単にすぐに出来るの便利です。


ただどっちをまずはやって欲しいか言うと、場合わけの方が定石に則ってやるだけでいいので場合分けです。

でもだいぶん式変形に慣れてきたら…うへ~

高校数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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