受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

四次元空間の球の図と体積の求め方。ついでにn次元の球の体積も。
四次元と聞くと、なんかドラえもんが
うへ~ってなんか出してくる4次元ポケットを思い浮かべると思いますが今日は四次元の球とかを考えながら数学3Cの勉強にたぶんなると言う方向で書いていきます。

半径rの四次元球って言うのは式で表すとxyzwの四次元空間で
x^2+y^2+z^2+w^2=r^2
と表されます。

正確にはw≧0でx,y,zを決めるとwが決まる三変数やから数学的には三次元球面とか言うねんけどな。

まず四次元球ってどんなもんか?って言えば、紙に書くと

081208_m7.jpg

こうです。

今しばかれそうになった。


そもそもただの3次元の球を書いてもただの丸になってしまうから三次元の珠を

081208_m8.jpg

こうやって1点から円が大きくなっていって、また小さくなっていく模様を書いてみます。
こうやるとただの丸ではなく三次元の球っぽく見えるとたぶん思います。


同じように四次元の球を書いてみると

081208_m9.jpg

こういう感じになります。

四次元の球を三次元に投影した感じです。

まあこの書き方は数学と言うよりも芸術的な問題かもしれません。


実生活に結びつけるとするならば、四つ目の軸を時間と考えて球が点から始まって時間とともに大きくなってまた小さくなっていって点になると言う感じです。


今度は数学的に考えて、四次元の球の体積を計算したいと思います。

ここでの体積は三次元では縦a、横b、奥行きcの直方体の体積はabcですが
四次元での体積を縦a、横b、奥行きc、その三つに直交する向きのなんかもう一つの長さがdの四次元の直方体の体積をabcdとします。

ちなみに、この意味での体積では、面積は2次元の体積のことと考えてます。


体積の計算の仕方

1、ある軸について垂直に切る。

2、断面積をその軸で積分する

でした。

これを四次元で同じようにやります。


xyzw空間で半径rの四次元球:x^2+y^2+z^2+w^2=r^2を考えて

まずはこれをx軸の真横から見ると

081208_m1.jpg

円に見えます。

3次元ではありえない話ですが、他の3つの軸は全部このx軸に垂直な向きです。

これをx=t(-r≦t≦r)で切ります。

三次元ではx=tと言う平面で切ると言うのをやっと思いますが、四次元ではx=tって言う空間で切ります。

不思議な話ですが実生活的な例を言うなら、時刻tの時の様子です。

ほら、ドラえもんも

「四次元ポケットは時刻を変えて物を入れるからなんぼでも入るんや」

って毎回言うてますよね。


そうするとx=tでの三次元空間はx^2+y^2+z^2+w^2=r^2に代入して
y^2+z^2+w^2=r^2-t^2
と言う普通の球になります。
これはもうあれですね。

体積は公式から{4π√(r^2-t^2)^3}/3です。


これをx軸に沿って積分すれば良いので四次元球の体積は

∫(-r,r){4π√(r^2-t^2)^3}/3dt

です。
この計算はt=rcosΘと置換してやります。

081208_m2.jpg

(sinΘ)^4の積分は普通は部分積分を使うかもしれませんが、それはまた今度説明したいと言うこともありますが、半角の公式を使ってcos4Θとcos2Θで表せば簡単な積分になります。

半角の公式を使う時は加法定理から
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
でα=βとすると
cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2
=2(cosα)^2-1
=1-2(sinα)^2
と導いてやればいいですが、まあいつか覚えてしまってると状態になるといいですね。

と言うことで体積はπ^2r^4/2になりました。



だんだん話がマニアックになっていきますが、よく考えると断面図?は一つ少ない次元の球の体積なので
n次元の球の体積はn-1次元の球の体積の積分と考えられるから漸化式が出来そうな気がします。

しかも線の長さがa:bの相似比は平面(2次元)ではa^2:b^2で空間(3次元)ではa^3:^b3でしたがn次元ではa^n:b^nになるので半径rのn次元の球の体積をVn(r)とすると半径1と半径rでは長さの比は1:rだから球の相似比は
1:r^n=Vn(1):Vn(r)
より
Vn(r)=r^2Vn(1)
になります。
つまりn次元の半径rの球は半径1の球のr^n倍です。

これを使えばr^nのとこを積分すればよくなることを利用していきます。
081208_m3.jpg

と言うことでn次元の球
x1^2+x2^2+…+xn^2=r^2をx1=tで切るとx1=tでの断面は

x2^2+x3^2+…+xn^2=r^2-t^2の半径√(r^2-t^2)のn-1次元の球になって、体積は
Vn(√(r^2-t^2))=√(r^2-t^2)^nVn-1(1)
となり

Vn(1)=∫(-1,1)√(r^2-t^2)^nVn-1(1)dt
={∫(-1,1)√(r^2-t^2)^ndt}Vn-1(1)
={∫(0,π)(sinΘ)^ndt}Vn-1(1)


In=∫(0,π/2)(sinΘ)^ndΘとおくと
∫(0,π)(sinΘ)^ndt=2Inだから

Vn(1)=2InVn-1(1)

と言う漸化式になります。


このInは数学3の問題でやったことある人は結構いると思います。

Inはこんなn次元の球の体積を求める時に出てくると言う、結構夢とか希望のあるもんやったんですね。


このInの積分はとりあえず結果を使わせてもらいます。

Inは勉強しといてください。
そんなん言いながら、また記事を書いてるかもしれませんが。

結局書いた

081208_m4.jpg

そしてこの漸化式を解いて

Vn(r)=r^nVn(1)
=r^n2^(n-1)InIn-1In-2…I2V1(1)
となります。

ついでにV1(1)はx^2=1つまりx=±1に挟まれた直線の長さのことなので2です。


Vn(r)=r^n2^(n-1)InIn-1In-2…I2V1(1)

これにInを代入したいところですが大変そうです。

そこでInにIn-1をかけると分母と分子が約分されまくりそうなので計算してみます。

偶数と奇数にわけて

081208_m5.jpg

両方ともn/2πになりました。

後はまたInIn-1のペアは偶数と奇数で最後にI2が干されるかどうか別れるから

081208_m6.jpg

と出ました。


まあ一応たぶん数学3の練習にならなくもないと言うような…。

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テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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