In=∫(0,π/2)sinΘ^nΘを求める問題を今日は解説していきたいと思います。



まあそろそろ寒くなってきたから、梅雨が終わってクリスマスがやってきたと言う感じですね。

この積分は四次元の球の図と体積の求め方。ついでにn次元の球の体積も。で解説するとか言うてた問題です。


部分積分と置換積分は大丈夫ですか？

そうかあ、ごちゃごちゃになることがあるか。


部分積分と置換積分は最初は確かにどっちを使えばいいのかわからないです。
もちろんどっちでも出来る場合もあります。
おおざっぱに解説すると



部分積分は積分する関数が二つの関数の掛け算と考えます。

例えばxe^xならe^xとxの掛け算とみて、e^xの方を積分、xの方を微分したらxが消えて積分出来る形になります。
他にはe^x・cosxなら2回部分積分を繰り返すと同じ形に戻って方程式が出来るのもあります。
今日はこれを使います。

置換積分は積分する関数を、(ある関数)の関数とその(ある関数)の微分の掛け算と考えます。

例えば
cosx/(sinx)^3ならsinxの関数とsinxの微分=cosxの関数の掛け算と考えます。

それでこれをt=sinxと置いてdt=cosxdxで置換積分します。

慣れてきたら、置換しなくても
∫(sinx)'/(sinx)^3dx=-1/4(sinx)^4+C
とやれるようになってきたら置換積分はかなり得意になってきたことになりますが、置換する場合でも結局こう見えなければ、たまたま置換したら出来たみたいな状態みたいなことになります。
でもそれも趣深いと思います。
そういうもんな所もあります。


やっと問題の積分に入って、何故かΘがxにかわってますが(sinx)^nはsinxの関数と見ても(sinx)'=cosxも無いしつくり出せそうにも無いので部分積分が良さそうです。
(sinx)^n=(sinx)^(n-1)・sinx
と考えてどっちかを微分してどっちかを積分するわけですが、さすがに(sinx)^(n-1)が積分出来たら苦労しないので、sinxの方を積分して(sinx)^(n-1)の方を微分します。



すると∫(0,π/2)(n-1)(sinx)^(n-2)・(cosx)^2dxが出てきます・

これはcosxが二乗なのでやっぱりsinxの関数と見て置換と言うわけにはいかなさそうです。

こういう場合はとりあえず(cosx)^2=1-(sinx)^2を使ってsinxだけの式にしてみます。

なんでsinxだけにするんかと言われたら困りますが、三角関数の積分では
(cosx)^2+(sinx)^2=1を使った変形をすると解けることがよくあります。

例えば1/cosxを積分しようと思うと
cosx/(cosx)^2=cosx/(1-(sinx)^2)

でsinxの関数×(sinx)'(=cosx)の形に見事になります。

だから(cosx)^2+(sinx)^2=1をなんか知らんけど、使ってみてください。


するとIn-2とInの式になります。
(n-1)In-2-(n-1)In

こっからどうしたらいいのかわかりませんが、見方をかえるとこの値はInなので

In=(n-1)In-2-(n-1)In

と言うように方程式が出来ています。


このように積分していくと元の形が出てきた時は、一回落ち着いて注意してください。

方程式が出来ているかもしれません。


この方程式から
In=(n-1)/nIn-2
とわかりました。

これは漸化式です。

ですが数列の所で習う漸化式にはこんな形のはあまり出てきません。

例えば
an+1=nan
とかは余りでないと思いますが、こういう形のはどんどん漸化式のnのとこを変えて代入していきます。

an=(n-1)an-1
でこれにan-1=(n-2)an-2を代入して

an=(n-1)(n-2)an-2
でこれにan-2=(n-3)an-3を代入して

an=(n-1)(n-2)(n-3)an-4

でこれを繰り返すと

an=(n-1)!a1

となります。


これは厳密には数学的帰納法で証明するかもしれませんが、この操作を繰り返して…って書けば問題ないことが多いです。


ところがこの問題は少しややこしいのは
In=(n-1)/nIn-2
はnが一つずつ減るんじゃなくて、２つずつ減るところです。

実際にn=5とn=6の場合をやってみると



と言うように奇数の時はn=1で打ち止め、偶数の時はn=0で打ち止めで、奇数と偶数の時でInは変わることがわかります。

奇数の時と偶数の時に分けて数列を求めることになります。
だからそれぞれの初項I0とI1も計算してください。



出来ました。

写真を見ると、奇数の分母の3のとこにnは奇数だから1で止まるとかわけわからんこと書いてますが2以上の整数なので3で止まるでした。
n=1の時は、この答えだとI1=0になってしまうのでn≧2の時を求めよって書かれていた理由もわかります。

高校数学の公式や問題の解説