つるかめ算は、小学校の時に塾でやりましたがその時は問題はとりあえず解けるけど何故こんなやり方なのかよくわからなかったのを覚えています。

中学になれば連立方程式で解けますがやっぱり中学受験のこともあるし、こんなものが求まるのか！って一見不思議に感じると思うので今日はつるかめ算について解説をします。

具体的な問題を考えてみます。


[問題]
つるとかめが全部で7匹います。
足の本数の合計は20本でした。
つるとかめはそれぞれ何匹いるでしょう？


これは、最初は問題の意味がわかりにくいと思います。
普通つるとかめの足を一緒にして数える人なんかいないからです。


例えばつるが2匹、かめが5匹とするとちゃんと合計7匹ですが足の本数は

つるは足2本が2匹で2×2＝4本

かめは足4本が5匹で4×5=20本

で合計20+4=24で足の数は全部で24本になります



これでは20本ではないのでダメな例です。

そしたら後はつるとかめを何匹入れかえたら足の合計は20本になるのでしょうか。


こういうことを考えるにはいきなりつるが2匹、かめが5匹からやると中途半端なので、まずは全部つるだったとします。

すると足2本が7匹で2×7=14本。

これでは20-14=6本足が足りません。

と言うことはつるを足の多いかめと交換する必要があるので1匹交換してみます。

するとつるは6匹、かめは1匹で足の数はそれぞれ2×6=12本と4×1=4本で合計12+4=16本です。

まだ足りないのでつるをかめと1匹交換してみます。

するとつるは5匹、かめは2匹で足の数はそれぞれ2×5=10本と4×2=8本で合計10+8=18本です。


と言うことは、つるをかめを1匹交換すれば結局足が2本増えることになります。
そらよく考えると足が2本のつるを逃して足が4本のかめを持ってこれば4-2=2本、足が増えます。

7匹全部つるだとすると2×7=14本で20-14=6本、足が足りませんでした。

だから1匹つるをかめと交換すると2本足が増えたので6本増やすには

6÷2=3

で3匹交換すればちょうど20本になります。


かめが3匹ならつるは7-3=4で4匹です。

これでかめとつるの個数がそれぞれわかりました。



でもつるかめ算って言うのは実際の生活を考えると、

ひろし「おいたかし、あそこにいるかめとつるはそれぞれ何匹か数えてこい」

たかし「ひろしさん！かめとつるは合計で7匹いて足は合計で20本ありましたが、かめとつるのそれぞれの個数は数え忘れました。うへ〜」

って報告されたら、計算したらわかることに気づかずに

ひろし「今日はおしおきやな」

ってその夜は大変なことになりそうな感じがします。



つるかめ算には、面積図とか言う考え方があります。

確かに見た目的には図形問題になるのでわかりやすいですが、中途半端に覚えると反対に間違えるのが恐いところです。



長方形は

縦の長さ×横の長さ=面積

でつるの足の本数は

1匹あたり足2本×つるの個数=つる全部の足の本数

なので、これらを

縦の長さをつる1匹あたりの足の本数つまり2本

横の長さをつるの個数

面積をつる全部の足の本数

と対応させます。

かめも同じよに対応させます。


で、この二つの横を合体させると長方形の角が欠けた図形が出来ます、

この図形の横の長さがつるとかめをあわせた個数、面積が全部の足の数、縦の短い方が2本、長い方が4本になります。


こういう図で考えれば、問題はこの欠けた部分のとこの横の長さ(つるの個数)がわかればよくなります。




実際にやってみました。

欠けてる部分は縦が4-2=2の長方形です。

欠けてる部分の面積は横7縦4の大きい長方形4×7＝28から元の図形の20を引いて28-20=8になります。

欠けてる部分の面積8をさっき出した縦の長さ2で割って8÷2=4でつるは4匹になります。

かめは残りなので7-4=3匹です。


もちろん欠けてる部分の面積を考える方法じゃなくても、横線を入れてかめの部分の飛び出してる所だけ切り取って上と下の二つの長方形に分けて考えても出来ます。

中学受験の算数の問題の解答や解説