受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

正四面体に内接する球の半径(中学の図形問題)
中学数学の図形問題です。
一辺の長さが2の正四面体に内接する球の半径rを求めよ。


この問題は半径を出すために辺CDの中点Eとして断面の△ABEは




こうなって別に円は△ABEに内接してません。
HはAから△BCDに垂線を降ろした点です。

ところで球の中心と接点を結んだ線は、その接する面に垂直です。




そこで、正四面体をこう四つに分割してます。

c2_4.jpg

こういう高さがr、底面が一辺の長さ2の正三角形の三角錐が四つできます。


このように三角錐の高さhが求めにくい時によく使う方法があります。
ポイントです。

体積=1/3×底面積×高さだから

○わかっている体積に3かけて底面積で割ると高さ

これは平面でも面積のわかってる三角形の高さを面積に2かけて底辺で割って求めたりなどよく使います。
平面図形や立体図形で高さを求めろ言われると、こういう方法もあると頭に入れておいてください。


それでは、この方法を使う方針で解いてみましょう。


まずは底面積である正三角形BCDの面積を求めましょう。
CDの中点Eとして
CE:BC:BE=1:2:√3
だから、
1/2×2×√3=√3


次は体積です。
この体積出すのは大変そうです。
そこで、もう一つポイント。

○簡単な立体から簡単な立体を取り除いて難しい立体にする


これも平面でも例えば正八角形の面積を求める時

c2_5.jpg

こうやって正方形から周りの四つの直角二等辺三角形を取り除くと簡単に面積が出ます。


それでは、正四面体の場合はどうするのかと言えば結構さっきの正八面角形と似てる気がしますが


こういう立方体を考えます。

c2_6.jpg

この一辺の長さが√2の立方体に綺麗に入ります。
この立方体の体積は
√2×√2×√2=2√2

これから、

c2_7.jpg

角の四つのこの三角錐を引けば正四面体になります・
この三角錐の体積は
1/3×(1/2×√2×√2)×√2=√2/3

よって正四面体の体積は

2√2-4×√2/3=2√2/3

と簡単に出ます。


さて体積はわかりました。

ここで最初に解説したポイントを使います。


正四面体÷4=三角錐OBCD

r={((2√2)/3)÷4}×3÷√3=1/√6=√6/6

分母の有理化は最後の答えだけやればいいです。


簡単に解けましたが、中学生の時にこういうやり方をきちんとマスターしていると大学受験の問題が簡単に解けてしまうことがあるので大切です。



それではこの正四面体の高さhを求めてみましょう。

c2_8.jpg

これも最初のポイント使えば一瞬で出ます。
体積に3かけて面積でわると

h=2√2/3×3÷√3=2√(2/3)

これはよく考えると
h=2√(2/3)=4×√(1/6)=4r
h=4r
です。
そら高さrの三角錐が四つで正四面体になるからそうなんですが。


正三角形BCDでHは頂点とその対辺の中点を結んだ中線の交点です。
これは三角形の重心というものです。
重心HはBH:HE=2:1となります。
c2_9.jpg

こうやって、平行な線を引けば2:1とすぐにわかります。
c2_2.jpg

そしてこの最初に却下した別に円は内接しない△ABEで接点が重心になっているから2:1を適用して平行線を引くと
c2_10.jpg

で、
h:r=4:1
です。
公式として覚えてもいいかもれません
だからh=4rなわけです。
まともに解こうと思えば、これを使います。
BH=2/3BE
=2/√3
h=√(AB^2-BH^2)
=2√(2/3)

r=h/4=1/√6
ちょっとh:r=4:1が難易度が高いと言えば高いかもしれません。


最後にポイントをまとめると

○体積=1/3×底面積×高さだから、わかっている体積に3かけて底面積で割ると高さ

○簡単な立体から簡単な立体を取り除いて難しい立体にする





テーマ:受験 - ジャンル:学校・教育

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