受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの問題の解き方を解説
ベクトルの問題の解き方を今日は説明したいと思います。


ベクトルの問題の解き方には基本ベクトルをとる方法と、対称性を生かす方法とかがありますが今日は基本ベクトルの方です。


手順としては

1、基本ベクトルを決める

2、条件を式に表す

3、連立して解く

です。



一つ一つ解説していくと

1、基本ベクトルを決める

081213_m3.jpg

これは図形問題にxy座標を決めて解くことがありますが、それと同じです。

xy座標を歪めたような感じですね。
もちろん二つとも同じ方向とか、反対方向に基本ベクトルをとってはいけません。


2、条件を式にあらわす

081213_m4.jpg

これは問題文の文章を解析して一つ一つきちんと式にしましょう。
よくこれが抜けて解けないってことになります。

点Pが三角形ABCの内部または境界にあるときはAP→=sAB→+tAC→(0<s、0<t、s+t<1)とかパっと出てくる必要がありますが、忘れていた場合はその都度チャート式とか参考書で確認してください。

全部覚えなければ!思いますが忘れたとしても、こうやって別の問題をやればまた出てくるから安心です。


3、連立して解く。

081213_m5.jpg

基本ベクトルであらわしていくわけですが、まず始点の変形はマスターしといてください。

後ろから前をひくです。

中学生の時にやった変化量は変化後から変化前をひきましたがそれと同じです。

XY→=OY→-OX→
後ろのYからXをひくです。

深いことは考えずに反射的に出来るようになってください。

後ろから前を引くです。


そうやって、あるベクトルが2通りに表されている場合は係数を比較します。

たまに忘れるのが
OP→・→a=…
OP→・→b=…
とかの式のまま止まることありますが、これは暗黙の了解のOP→=sa→+tb→
とか置くのを忘れてるので注意してください。


ベクトルの長さ|a→|は|a→|^2=a→・a→
と言うように2乗して内積と考えてください。
と言うよりそれが|a→|の定義です。


そらこんなのでは出来ない難しい問題はありますが最初まずはベクトルの問題はだいたいこうやって決まったやり方をやれば出来るって言うのを出来るようになることが大切です。


それでは問題を実際にやってみましょう。

[問題]
四面体OABCで
辺OAを1:2に内分する点をD、
辺OEを3:1に内分する点をE、
辺BCを2:1に内分する点をFとする。
点D,E,Fと辺AC上の点Gが同一平面上にあるとき、AG:GCを求めよ。




081213_m6.jpg

まずは図を描いてください。
図を書かないと何もかも始まりません。

そして基本ベクトルを定めますが、これはいろいろなとり方がありますが普通は
OA→=a→
OB→=b→
OC→=c→
とおいてとります。


2、条件を式に表す。

これも問題文を一つ一つ解析して抜けがなくちゃんと式にしてください。
辺OAを1:2に内分する点をDはOA→=1/3a→

辺OEを3:1に内分する点をE、辺BCを2:1に内分する点をFも同じようにやります。

081213_m7.jpg

ちょっとやっかいなのが
点D,E,Fと辺AC上の点Gが同一平面上にあるとき
って言う文章です。
これは

○辺AC上の点Gがある

○点D,E,Fと点Gは同一平面上にある

の二つに分解して考えます。

これで5つ式が出来ました。


3、連立して解く。

081213_m8.jpg

どんどんベクトルを消去して基本ベクトルだけ残していくと、→OGは二通りに表せます。
これで係数を比較して完成です。



ベクトルの問題はこうやって機械的にやれば出来るので、一度マスターすれば得点元になります。
色々な問題で練習してみてください。


高校数学の公式や問題の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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