受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

絶対値の扱い方、距離と考える方法
前回の神大文系の問題絶対値と導関数で絶対値がある時の解き方

1、|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B
のようにプラスとマイナスで場合わけしてはずす。

2、|A|=|B|⇔A^2=B^2
のように二乗してはずす。

3、|x2-x1|は数直線上の2点x=x1とx=x2の距離と解釈する。

で3の場合を今回は説明します。


絶対値を距離と考えるのは例えば△OABでOA→=a→、OB→=b→として

|b→-a→|

は2点A,Bの距離ですよね。

絶対値はこの一次元版で、数直線上でA(a),B(b)の二点を考えると

|b-a|

が2点A,Bの距離になります。


こんな問題を考えてみます。

[問題]
f(x)=|x-2|+|x-3|
の最小値と最小値になる条件を求めよ。



|x-2|は数直線上でxと2との距離です。

|x-3|は数直線上でxと3との距離です。

これをxの位置で場合分けして図に書いていくと

081215_m1.jpg

2≦x≦3の時に最小値1をとることが図で分かります。

他の二つの場合はx<2では|x-2|が、3<xでは|x-3|がすでに1をこえてしまってるのがわかります。

解答はこれで完璧です。

しかし勉強のために、更に突っ込むと三角不等式を使えば一発で示せます。
081215_m2.jpg
三角不等式については
三角不等式を用いた証明を見てください。

三角不等式ってまたマニアックなのを…と思われるかもしれませんが、むしろ距離の定義の一つに三角不等式が成り立つことってあるので実はこれはかなり重要なものです。



だいぶん絶対値は距離に見えてきたところで、この問題を考えてみましょう。

[問題]
f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|
の最小値と、最小値になるxの条件を求めよ。


これも
|x-1|はxと1の距離
|x-2|はxと2の距離
|x-3|はxと3の距離
と考えてxの位置を場合分けして図を書くと

081215_m3.jpg

x=2の時に最小値2になることがわかります。
x=2以外の場合では全部、1から3の部分で重なりが出てくるから|3-1|=2より大きくなるのがわかります。

xを左から右へ移動させていくって言うイメージをして場合わけして下さい。



解答はこれで大丈夫ですが、勉強のためにさっきみたいに三角不等式でやる方法でやってみるとこうなります。

最小値の求め方ですが、まず不等式には二つの意味があります。


081215_m4.jpg
(i)定義域、値域の意味(写真はミスって定義域だけ書いてまいました)
例えばy=f(x)のグラフを書いて地域がf(x)≧2になった時は、
f(x)の最小値は2です。
この文脈でのf(x)≧2の意味は2以上の実数全体をf(x)は動くと言う意味です。

(ii)単なる大小関係
例えばy=f(x)のグラフを書いて地域がf(x)≧2になった時は、2以上なのでそら

f(x)≧0
が成り立ちます。
しかしこの文脈でのf(x)≧0は単に0以上であると言うことだけでもちろん最小値ではありません。


しかし単なる大小関係で
f(x)≧0
と言う不等式があって、あるxでf(x)=0となれば0が最小値です。

これは難しい問題で最小値を求める時に使うことがあります。


まあとりあえずはやってみましょう。

081215_m5.jpg

|x-1|+|x-3|は三角不等式を使えばとりあえず
|x-1|+|x-3|≧|1-3|=2
です。

また
|x-2|≧0
です。
これは当たり前ですね。
しかしこれが難しいところです。

それでこの不等式をたして

|x-1|+|x-2|+|x-3|≧2+0=2

が成り立ちます。

この時点ではこの不等式はf(x)は2以上であると言う単なる大小関係の意味です。

2以上であって、f(x)=2となるxはあるのか?と考えると

|x-1|+|x-3|≧2の等号成立は1≦x≦3でした。

また
|x-2|≧0の等号成立はx=2です。

これが両方同時に成り立てばf(x)の最小値は2になりますが、x=2は1≦x≦3を満たすのでx=2であれば両方同時になりちます。

だからf(x)はx=2の時、最小値2とわかります。


本当に最小になるのはx=2の時だけなのかなぁ?と思いますが、x=2でなければ|x-2|>0で|x-1|+|x-3|≧2だから
|x-1|+|x-2|+|x-3|>2
となってx=2以外では2より大きくなることがわかるから大丈夫です。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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